详细介绍如何使用Ipopt非线性求解器求解带约束的最优化问题
本文中将详细介绍如何使用Ipopt非线性求解器求解带约束的最优化问题，结合给出的带约束的最优化问题示例，给出相应的完整的C++程序，并给出详细的解释和注释，以及编译规则等
一、Ipopt库的安装和测试
本部分内容在之前的文章《Ubuntu20.04安装Ipopt的流程介绍及报错解决方法（亲测简单有效）》中已经详细介绍过了，链接如下：
https://blog.csdn.net/qq_44339029/article/details/133679131
二、使用Ipopt非线性求解器求解带约束的最优化问题的程序示例
0、明确要求解的带约束的最优化问题
首先，我们来看一个简单的带约束的最优化问题，其包含两个不等式约束和1个等式约束，详情如下：
f = ( x 1 − 10.24 ) 2 + 5.21 x 2 + 9.9 ( x 3 − x 4 ) 2 f=(x_1-10.24)^2+5.21x_2+9.9(x_3-x_4)^2 f=(x1−10.24)2+5.21x2+9.9(x3−x4)2
g 1 : 2 ≤ x 3 − x 4 ≤ 10 g 2 : 2.99 ≤ x 2 ≤ 100 g 3 : x 2 = x 4 \begin{aligned}g_1 & : & 2\leq x_3-x_4\leq10\\ g_2 & : & 2.99\leq x_2\leq100\\ g_3 & : & x_2=x_4\end{aligned} g1g2g3:::2≤x3−x4≤102.99≤x2≤100x2=x4
其中 x 1 x_1 x1、 x 2 x_2 x2、 x 3 x_3 x3、 x 4 x_4 x4的取值范围均为0~100，易知使得上述目标函数 f f f取值最小的解为：10.24、2.99、4.99、2.99。
下面介绍，如何编程使用Ipopt非线性求解器求解该问题
1. 引入头文件和命名空间：
#include 引入必要的C++头文件，包括iostream（用于输入输出），cassert（用于C风格的assert）以及cppad/ipopt/solve.hpp（用于Ipopt求解器和CppAD库的接口）。然后在一个匿名的命名空间中引入了AD类型，这是CppAD库中用于自动微分（Automatic Differentiation）的数据类型。
2. 定义FG_eval类：
namespace {
class FG_eval {
public:
typedef CPPAD_TESTVECTOR(AD<double>) ADvector;
void operator()(ADvector& fg, const ADvector& x) {
// ...
}
};
}
在匿名命名空间中，定义一个FG_eval类，用于计算目标函数和约束条件的值。这个类也是调用使用CppAD和Ipopt库所需的最重要的接口，这个类中的operator()函数是用于计算问题的目标函数和约束条件的核心部分。它接受两个向量：fg用于存储目标函数值和约束条件值，x用于存储优化变量。
3. 定义operator()函数：
接下来，我们根据第0步中明确的目标函数及约束条件来编写核心的operator函数，示例如下：
void FG_eval::operator()(ADvector& fg, const ADvector& x) {
assert(fg.size() == 4);
assert(x.size() == 4);
AD<double> x1 = x[0];
AD<double> x2 = x[1];
AD<double> x3 = x[2];
AD<double> x4 = x[3];
fg[0] = (x1 - 10.24) * (x1 - 10.24) + 5.21 * x2 + 9.9 * (x3 - x4) * (x3 - x4);
fg[1] = x3 - x4;
fg[2] = x2;
fg[3] = x2 - x4;
// 打印计算结果
std::cout << "fg[0]:" << fg[0] << std::endl;
std::cout << "fg[1]:" << fg[1] << std::endl;
std::cout << "fg[2]:" << fg[2] << std::endl;
std::cout << "fg[3]:" << fg[3] << std::endl;
}
operator()函数接受fg和x向量，然后根据问题的定义计算目标函数和约束条件的值，并将它们存储在fg向量中。同时，它也打印出这些值， 其中fg[0]即为目标函数表达式、fg[1]、fg[2]、fg[3]中依次对应了第0步中设定的三个约束，不等式约束直接写即可，等式约束的等式左右两边同时减去右边的项，使等式右边变为0。
4. 定义主函数get_started（该函数名字可任取）：
定义一个主函数，设定自变量的初始值，以及自变量和约束的上下限，设定和提供调用Ipopt非线性求解器求解所需要的变量，然后调用求解器进行求解，并进行验证等操作，程序示例如下：
bool get_started(void)
{ bool ok = true;
size_t i;
typedef CPPAD_TESTVECTOR( double ) Dvector;
size_t nx = 4;
size_t ng = 3;
Dvector xi(nx);
xi[0] = 10.0;
xi[1] = 5.0;
xi[2] = 5.0;
xi[3] = 100.0;
Dvector xl(nx), xu(nx);
for(i = 0; i < nx; i++)
{ xl[i] = 0;
xu[i] = 100;
}
Dvector gl(ng), gu(ng);
gl[0] = 2; gu[0] = 10;
gl[1] = 2.99; gu[1] = 100;
gl[2] = 0; gu[2] = 0;
FG_eval fg_eval;
std::string options;
options += "Integer print_level 0\n";
options += "String sb yes\n";
options += "Integer max_iter 10\n";
options += "Numeric tol 1e-6\n";
options += "String derivative_test second-order\n";
options += "Numeric point_perturbation_radius 0.\n";
CppAD::ipopt::solve_result<Dvector> solution;
CppAD::ipopt::solve<Dvector, FG_eval>(
options, xi, xl, xu, gl, gu, fg_eval, solution
);
ok &= solution.status == CppAD::ipopt::solve_result<Dvector>::success;
double check_x[] = { 10.24, 2.99, 4.99, 2.99 };
double rel_tol = 1e-6; // relative tolerance
double abs_tol = 1e-6; // absolute tolerance
for(i = 0; i < nx; i++)
{
ok &= CppAD::NearEqual(
check_x[i], solution.x[i], rel_tol, abs_tol
);
std::cout << "x[" << i << "] = " << solution.x[i] << std::endl;
}
return ok;
}
以下是程序的详细解释：
（1）. bool get_started(void)：程序逻辑流程的主要函数，get_started函数定义了问题的基本参数，如变量数量、约束数量、变量的初始值，以及变量和约束的上下界。然后，它创建了一个FG_eval对象来计算目标函数和约束条件，设置了Ipopt求解器的选项，并最终调用求解器来解决问题。
（2）. bool ok = true;：定义一个布尔变量 ok，用于表示问题是否成功求解。一开始将其初始化为 true。
（3）. 类型别名 Dvector：通过 typedef CPPAD_TESTVECTOR(double) Dvector; 定义了一个 Dvector 类型，它是CppAD库中的向量类型，用于存储双精度（double）数值。
（4）. size_t nx = 4;：定义一个 size_t 类型的变量 nx，表示问题中独立变量（自变量）的数量，即问题的变量维度。在这个示例中，有4个独立的自变量。
（5）. size_t ng = 3;：定义一个 size_t 类型的变量 ng，表示问题中的约束数量，即约束的维度。在这个示例中，有3个约束条件。
（6）. 创建 Dvector 向量 xi：用于存储问题的独立变量（自变量）。这个向量有4个元素，对应于4个自变量。
（7）. 设置初始猜测值 xi：为 xi 向量中的每个元素分别赋初值，为检验算法性能，这里设定了一个较差的初始值。
- `xi[0] = 10.0;`
- `xi[1] = 5.0;`
- `xi[2] = 5.0;`
- `xi[3] = 100.0;`
（8）. 定义变量和约束条件的上下界：
- 创建 Dvector 向量 xl 和 xu，它们分别表示变量的下界和上界，并根据第0步中的设定的自变量的取值范围0~100进行设定
- 创建 Dvector 向量 gl 和 gu，它们分别表示约束条件的下界和上界，并根据第0步中，三个约束的进行设定，对于前两个不等式约束，直接设定即可，第三个等式约束，即 x 2 − x 4 = 0 x_2-x_4=0 x2−x4=0,因此，上下限均设为0即可。
（9）. 创建 FG_eval 类的对象 fg_eval：FG_eval 即我们第二步中设定的类，用于计算目标函数和约束条件的值。这是问题的目标函数和约束条件的具体定义。
（10）. 创建字符串 options：用于存储Ipopt求解器的选项，包括设置输出级别、最大迭代次数、收敛容差等，详情如下所示：
- `options += "Integer print_level 0\n";`：将输出级别设置为0，以关闭求解器的详细输出，只打印关键信息。
- `options += "String sb yes\n";`：使用平衡约束优化方法。
- `options += "Integer max_iter 10\n";`：设置最大迭代次数为10次。
- `options += "Numeric tol 1e-6\n";`：设置迭代停止的收敛容差为1e-6。
- `options += "String derivative_test second-order\n";`：启用二阶导数测试，用于检查目标函数和约束条件的导数是否正确。
- `options += "Numeric point_perturbation_radius 0.\n";`：将随机扰动的半径设置为0，表示不使用扰动进行数值近似求导。
（11）. 创建 CppAD::ipopt::solve_result：用于存储求解结果的对象。
（12）. 调用 CppAD::ipopt::solve 函数：使用Ipopt求解器解决非线性规划问题。传递了问题选项、独立变量的初始值、变量的上下界、约束条件的上下界、问题的定义（fg_eval 对象），以及存储结果的 solution 对象。
（13）. 检查求解器的状态：如果状态为成功（success），则将 ok 变量保持为真，表示问题已成功求解。
注：下面的第(14)~(16)部分，是为了验证求解是否正确，为非必要步骤
（14） 创建 check_x 数组：包含问题的精确解。这些值是问题的已知精确解。
（15）. 设置相对容差和绝对容差的阈值：这些值用于控制验证解的精度。
（16）. 遍历问题中的每个变量，进行解的验证：使用 CppAD::NearEqual 函数来比较问题的解与精确解是否足够接近。如果它们的差距在相对容差和绝对容差的范围内，ok 变量将保持为真，并打印每个变量的解。
（17）.返回 ok 变量：表示问题是否成功求解。
5. C++主函数main：
int main(void) {
std::cout << "===== Ipopt with CppAD Testing =====" << std::endl;
bool result = get_started();
std::cout << "Final checking: " << result << std::endl;
}
main函数是程序的入口点，它简单地调用get_started函数来执行非线性规划问题的求解，并打印结果。
6. ☆☆☆带详细注释的完整程序`☆☆☆
# include 三、编译验证
将上面第二部分，第6步中给出的完整的程序，保存为CppAD_Ipopt.cpp，然后在同一目录下，创建一个名为CMakeLists.txt的文件，接下来，我们需要在CMakeLists.txt文件中，编写编译规则，如下所示：
# 设置CMake的最低版本要求
cmake_minimum_required(VERSION 3.5)
# 项目名称
project(CppadIpoptDemo)
# 寻找Ipopt包（确保你已经安装了Ipopt和CppAD）
# find_package(Ipopt REQUIRED)
# 设置可执行文件的名称和源文件
add_executable(cppad_ipopt_demo CppAD_Ipopt.cpp)
# 包含Ipopt的头文件
# target_include_directories(cppad_ipopt_demo PRIVATE ${IPOPT_INCLUDE_DIRS})
# 链接Ipopt库
# target_link_libraries(cppad_ipopt_demo ${IPOPT_LIBRARIES})
TARGET_LINK_LIBRARIES(cppad_ipopt_demo ipopt)
保存，并关掉CMakeLists.txt文件，接下来就利用该文件对CppAD_Ipopt.cpp进行编译，在该目录下空白处，右键打开终端，依次输入以下四条语句
mkdir build
cd build
cmake ..
make
以上编译结束后，在build文件夹下，生成了可执行文件cppad_ipopt_demo，如下图所示
在当前目录下，右键打开终端，输入以下指令运行该文件
./cppad_ipopt_demo
运行结果如下，可以发现即使在给定的初始解很差的情况下，Ipopt非线性求解器依然能够求解出第二部分第0部步中设定的带约束优化问题的最优解。
