第一章 函数 极限 连续（未完更新中）

了解

一、函数的性质

理解

一、函数

1、函数概念

⚠️定义域和对应规则是同一函数的判断

2、复合函数

简单的说就是内层函数的值域与外层函数的定义域有交集

3、反函数

3.1、y=x^3为反函数，y=x^2不是

3.2、单调函数是反函数的充分非必要条件（单调函数一定有反函数）例如反函数不一定单调

3.3、反函数之间的等式

掌握

一、基本初等函数

1、幂函数y=x^a(a为常数）

1.1、性质

• 幕函数的图像最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；如图与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点
• 所有幕函数在（0，+00）上都有定义，并且图像都经过点（1，1）。
• 当a≤-1且a为奇数时，函数在第一、第三象限为减函数　　
• 当a≤-1且a为偶数时，函数在第二象限为增函数
• 当a=0且x不为0时，函数图象平行于x轴且y=1、但不过(0,1)
• 当a=1时，函数图像为过（0,0），（1,1）且关于原点对称的射线
• 当0
• 当a≥1且a为奇数时

1.2、图形（常见的幂函数）

2、指数函数y=a^x（a>0且a≠1）

2.1、性质

• 指数函数y=a^x（a>0且a≠1）的函数值恒大于零，定义域为R，值域为（0，+00）
• 指数函数y=a^x（a>0且a≠1）的图像经过点（0，1）
• 指数函数y=a^x（a>1）在R上递增，指数函数y=a^x（0
• 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。
• 函数总是通过（0，1）这点,(若 ,则函数定过点(0,1+b))
• 指数函数无界
• 指数函数是非奇非偶函数
• 指数函数具有反函数，其反函数是对数函数

2.2、图形

3、对数函数y=logaX（a>0，且a≠1）

3.1、性质

• 定义域：对数函数y=log ax 的定义域是{x 丨x>0}；
• 定点 ：对数函数的函数图像恒过定点（1，0）；
• 单调性 ：a>1时，在定义域上为单调增函数； 0
• 零点：x=1

一般地

• 对数函数y=logax（a>0且a≠1）就是指数函数y=a^x（a>0且a≠1）的反函数。
• 因为指数函数y=a^x（a>0且a≠1）的值域是（0，+00）
• 所以对数函数y=logax（a>0且a≠1）的定义域是（0，+00）。

3.2、图形

3.3、对数运算性质

如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么：

• （1）对数：一般地，如果a（a>0，a≠1）的b次幕等于N，即a^b=N，那么b叫做以a为底N的对数；记作：logaN =b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
• （2）常用对数：lg(b)=log 10b（10为底数）；
• （3） 自然对数：ln(b)=log eb（e为底数） e为 无限不循环小数，通常情况下只取e=2.71828。

4、三角函数

4.1、y=sinx（正弦）与y=cos x（余弦）函数的图像与性质

4.2、y=tan x（正切）与y=cotx（余切）函数的图像与性质

5、反三角函数

5.1、y=arcsin x（反正弦）与y = arccos x（反余弦）函数的图像与性质

5.2、y= arctan x（反正切）与y = arccot x（反余切）函数的图像与性质