《简明微积分》（第四版）学习笔记

学习用书是《简明微积分》，作者是龚昇
选择此书是因为它的编写顺序不是传统高数的先实数理论和极限的证明，而是按数学史
发展的顺序，先引进微积分再后续完善实数理论的严格证明。
笔记的顺序与目录的顺序大致相同。

第一章–微积分的概念

函数与极限

极限

首先从数列的极限引出函数极限。

讨论极限需要知道精确度的概念，用A作为参考，当无论x在一定范围内取何值时，总有$|x-A|\le \delta ,\delta$是给定的正数，我们可以认为x的精度达到了一定范围，这个精确度是A。
例如取A=0.1，若$\delta =0.01$，总有$|x-A|\le \delta$，显然x= 0.11是符合的，x=0.108也是符合的，但x=0.112就不符合了。上式就像是在限定误差范围在0~0.1以内。

对数列而言，$\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n$会趋近于一个确定的数，此时可以用上述的精确度判断是否达到极限。函数的极限也是相似的，另外，当X趋近于某个$x_0$时，也可以表示出相应的极限。
数列/函数的极限可以进行四则运算，由函数叠加可以明白，教材上未先给出严格证明，将在第九章完善。

夹逼定理
若恒有$g(x)\le f(x)\le h(x)$，则当$\underset{x\to a}{\lim }g(x)=\underset{x\to a}{\lim }h(x)=A$，定有$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A$
数列也相似。

连续函数

若$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }f(x_0+\Delta x)-f(x)=0$，则说明函数$f(x)$在$x_0$附近是连续的，反之则是不连续的（间断）。这点从图像上是直观的。通常我们会考虑函数在一个区间上是否连续。

一些函数的常规性质可以参考高中教科书的定义，比如集合，映射，函数的定义等，这里不再重复。

定积分

计算面积

从计算曲边梯形的面积引入定积分的概念。假设要计算$y=x^2$与x轴，x=a, x=b(b>a)围成的面积大小，可以采用无限分割（微元）用矩形进行面积近似的方法计算。 得到一个数列求和的形式，写出其求和的通项公式即可。

注意在无限分割时，每个小区间可以是等间距的，也可以不等间距，后者常用用等比数列的方式呈现。当分割的区间数n趋近于无穷时，曲边梯形的面积就可以由小矩形面积的和代替。

对于分割出的每一个小区间，要选取一个函数值作为矩形的高。该函数值的选取相对任意，该区间内的每个自变量对应的函数值都可以作为矩形的高，可以记作$f({\xi }_i)$，区间宽度为$x_{i+1}-x_i$，则求和公式为$\sum _{i=1}^n(x_{i+1}-x_i)\cdot f({\xi }_i)$。

同时分割的方法很有讲究，分割方法不同计算的难易度也有很大差异，但本质相同。
假设一种分割方法为T，设$\lambda (T)$表示所有小区间中宽度最大的一个 的宽度，当λ$\to 0$时，曲边梯形面积近似等于矩形面积之和。

定义定积分

当$\Delta x\to 0$时，用$dx$代替，可将上式改写为S = ${\int }_a^{b}f(x)dx$，即求$f(x)$与x轴，x=a和x=b围成的面积。
且规定${\int }_b^{a}f(x)dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx(a<b)$
由定积分的定义可以得到

1. ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$
2. ${\int }_a^b[f(x)\pm g(x)]dx$=${\int }_a^{b}f(x)dx\pm {\int }_a^{b}g(x)dx$
3. ${\int }_a^{b}f(x)dx$= ${\int }_a^{c}f(x)dx$+${\int }_c^{b}f(x)dx$
4. $-|{\int }_a^{b}f(x)dx|\le {\int }_a^{c}f(x)dx$+${\int }_c^b|f(x)|dx$
5. $x\in [a,b]上，若总有g(x)\ge f(x)\Rightarrow 总有{\int }_a^{b}g(x)\ge {\int }_a^{b}f(x)$

对数函数$y=lnx$

在讨论气体做功时我们发现无法避开对$y=\frac{1}{x}$求定积分这一步骤。我认为在这本书里，作者想通过求解积分来定义出以e为底的对数函数。

可以定义$lnx={\int }_1^x\frac{1}{x}dx$，且当x=e时$lnx={\int }_1^e\frac{1}{x}dx=1$
可以证明$\forall x_1,x_2>0$都有$ln{x}_1{x}_2=ln{x}_1+ln{x}_2$

从$y=lnx$的定义出发， l n