o-1背包问题迭代_算法设计：回溯法-解决01背包问题

一、算法思想

回溯法(探索与回溯法)是一种选优搜索法，又称为试探法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法。有时会遇到这样一类题目，它的问题可以分解，但是又不能得出明确的动态规划或是递归解法，此时可以考虑用回溯法解决此类问题。回溯法的优点 再于其程序结构明确，可读性强，易于理解，而且通过对问题的分析可以大大提高运行效率。但是，对于可以得出明显的递推公式迭代求解的问题，还是不要用回溯 法，因为它花费的时间比较长

二、算法要素

1、解空间

用回溯法解决实际问题的时候，首先确定解的形式，定义问题解空间

(1)解的组织形式为一个n元组{x1,x2,x3…..,xn}

(2)解的取值范围

例如0-1背包问题：

0-1背包问题可以抽象成一个容量有限(容量设为W)的背包装东西，每个商品都有自己的体积w和价值v，目的就是用这个容量有限的背包装满价值总量最大的东西

例如有3个物品， 解的组织形式为{x1,x2,x3}。它的解分量xi的取值范围很简单，xi=0或者xi=1。xi=0表示第i个物品不放入包，xi=1表示第i个物品放入背包，因此

xiϵ{0,1}

3个物品的0-1背包问题，其所有可能解有：{0,0,0}，{0,0,1}，{0,1,0}，{0,1,1}，{1,0,0}，{1,0,1}，{1,1,0}，{1,1,1}

解空间：所有可能解组成的空间，而我们需要根据问题的约束条件，在解空间中寻找最优解，如下图所示：

解空间越小，搜索效率越高。解空间越大，搜索效率越低

(3)搜索解空间

隐约束指对能否得到问题的可行解或最优解做出的约束

如果不满足隐约束，就说明得不到问题的可行解或最优解，那就没必要在沿着该节点的分支进行搜索了，相当于把这个分支减掉了。因此，隐约束也称为剪枝函数，实质不是减掉分支，而是不再搜索该分支

例如3个物品的0-1背包问题，如果前2个物品放入(x1=1，x2=1)后，背包超重了，那就没必要再考虑第3个物品是否放入背包的问题相当于剪枝了，如下图所示：

隐约束(剪枝函数)包括约束函数和限界函数

解空间的大小和剪枝函数的好坏直接影响搜索效率，因此这两项是搜索算法的关键，在搜索空间时，有几个术语需要说明：

(1)、扩展节点：一个正在生长孩子的节点

(2)、活节点：一个自身已生成，但孩子还没有全部生成的节点

(3)、死节点：一个所有孩子都已经生成的节点

(4)、子孙：节点E的子树所有节点都是E的子孙

(5)、祖宗：从节点E到树根路径上的所有的节点都是E的祖宗

2、解题步骤：

(1)定义解空间

因为解空间的大小对搜索效率有很大影响，因此使用回溯法首先定义合适的解空间，确定解空间包括解的组织形式和显约束

解的组织形式：解的组织形式都规范为一个n元组{x1,x2,…….,xn}，只是具体表达含义不同而已

显约束：对解取值范围的限定，通过显约束可以控制解空间的大小

(2)确定解空间的组织形式

解空间的组织结构通常用解空间树形象的表达，根据解空间的不同，解空间分为子集树、排列树、m叉树

(3)搜索解空间

回溯法是按照深度优先搜索策略，根据约束(约束函数和限界函数)，在解空间中搜索问题的可行解或最优解，当发现当前节点不满足求解条件时，就回溯尝试其它路径

如果问题只是要求可行解，则只需设定约束函数即可，如果要求最优解，则需要设定约束函数和限定函数

解的组织形式都是通用的n元组形式，解的组织结构是解空间的形象表达。解空间和隐约束是控制搜索效率的关键。显约束可以控制解空间

三、算法设计过程

以01背包问题为例：假设有n个物品，每个物品i对应的价值为vi，重量为wi，购物车容量为W，每个物品只有1件，要么装入要么不装入不可拆分，如何装入物品的总价值最大？

2、设计过程

(1)定义问题解空间

每个物品有且只有2种状态，要么装入，要么不装入。我们用变量xi表示第i个物品是否被装入购物车的行为，如果用"0"表示不装入背包，用"1"表示装入背包，则xi的取值为0或者1，i=1,2,3,4,5….，第i个物品装入购物车xi=1；不装入购物车xi=0。该问题的解形式是一个n元组,且每个分量的取值为0或1

由此得到问题解空间为{x1,x2,x3,……xi，…..,xn}，其中，显约束xi=0或1，i=1,2,3….n

(2)确定解空间的组织结构

问题的解空间描述了2的n次方可能解，也就是说n个元素组成的集合所有子集个数。例如3个物品的购物车问题，解空间是：{0,0,0}、{0,0,1}、{0,1,0}、{0,1,1}、{1,0,0}、{1,0,1}、{1,1,0}、{1,1,1}。该问题有2的3次方个可能解

(3)搜索解空间

【1】约束条件

解空间包含2的n次方种可能解，存在某种或某些物品无法装入的情况，因此需要设置约束条件，判断装入物品总重量是否超过总容量，如果超出，为不可行解；否则为可行解。搜索过程不再搜索那些导致不可行解的节点及其孩子节点，约束条件为：

w1x1 + w2x2 + w3x3+….<=W

【2】界限条件

可行解可能不止一个，问题的目标是找一个装入购物车的物品总价值最大的可行解，即最优解。因此，需要设置界限条件来加速该最优解的速度

根据解空间的组织结构，对于任何一个中间节点z(中间状态)，从根节点到z节点的分支所代表的状态已经确定，从z到其子孙节点的分支的状态是不确定的。也就 是说，如果z在解空间树中所处的层次是t，说明第1种物品到第t-1种物品的状态已经确定了。我们只需要沿着z的分支扩展很容易确定第t种物品的状态。那么前t种物品的状态就确定了。但第t+1种物品到第n种物品的状态还不确定。这样，前t种物品的状态确定后，当前已装入购物车的物品的总价值，用c p表示。已装入物品的价值高不一定就是最优的，因为还有剩余物品未确定