支配规则的作用及应用——以分支定界和有效不等式为例

在分支定界时，我们通常需要推导一系列的性质，进而得到支配规则。支配规则的作用是删去一系列被支配的节点，也就是我们说的剪支。大白话理解就是这个节点的信息太差，有比它更好的，已经包含了相应的信息，所以它没什么作用了，这样一来，剪支后的分支树叶子节点变少，我们探索就容易了。

在经典的分支定界方法中，会根据三条规则剪支：

（1）不可行剪支

（2）整数解剪支

探测结束，更新上界

（3）根据界剪支

线性松弛的解大于等于UB，该枝不可能产生更好的整数解了，因为该枝的整数解比线性松弛的解还大，得到的整数解不会更新UB。对更新UB无用，所以剪支。

或许我们可以把支配规则dominnate rule当做第四条剪支规则（我个人觉得其实它本质是第三条根据界来剪支）。

支配规则需要我们来进行推导，也是体现我们工作量创新点，以及体现我们对问题的理解，定制化算法的关键。

如果这个支配规则用明确的数学式子来描述，就是有效不等式。有效不等式valid inequality和割平面cuts的区别，以及与强有效不等式的区别_云湖在成长的博客-CSDN博客

从有效不等式的角度来说，我们更希望的是找到支配性更强的式子，所以我们也会去分析有效不等式之间的支配关系。若有效不等式A支配了有效不等式B，我们会说A是强有效不等式。用几何的形式来理解：有效不等式A切得部分更多，碰到了凸包的1个点/1条棱/1个面。几何的角度方便理解原理，但对求解是没帮助的。用代数的角度来阐述，我们希望找到更强的有效不等式A，或者证明有效不等式A强于B。这个是我们的贡献，证明的思路是：（1）πx≤π0，证明左边的π更大，或者是右边的π0更小。（2）证明A切割后的可行域是B切割后可行域的子集，即A切割得更多，前提是保持原有问题的可行域（实际常用的是这个）。

总结：支配规则很重要，是我们科研的重点。

参考：

有效不等式valid inequality和割平面cuts的区别，以及与强有效不等式的区别_云湖在成长的博客-CSDN博客

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