熵、交叉熵、相对熵（KL 散度）意义及其关系

• 熵：H(p)=−∑xp(x)logp(x)
• 交叉熵：H(p,q)=−∑xp(x)logq(x)
• 相对熵：KL(p∥q)=−∑xp(x)logq(x)p(x)
  
  • 相对熵（relative entropy）也叫 KL 散度（KL divergence）；
  • 用来度量两分布之间的不相似性（dissimilarity）；

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通过交叉熵的定义，连接三者：

H(p,q)===−∑xp(x)logq(x)−∑xp(x)logp(x)−∑xp(x)logq(x)p(x)H(p)+KL(p∥q)

1. 简森不等式与 KL散度

KL(p∥q)=−∫p(x)lnq(x)p(x)dx

因为 −lnx 是凸函数，所以满足，凸函数的简森不等式的性质：

f(E)≤E(f)

这里我们令 f(⋅)=−lnx，则其是关于 x 的凸函数，因此：

E(f())≥f(E)⇓−∫p(x)lnq(x)p(x)dx≥−ln∫q(x)dx=0

也即 KL 散度恒大于等于 0；

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