欧拉角旋转矩阵内外旋的等价性

下文中, 绕坐标轴 旋转角度 的旋转矩阵表示为 , 其中 .

Unity 中, 欧拉角 表示的旋转顺序是 的外旋(extrinsic rotation).

设初始坐标系为 . 设点 在 中坐标为 , 顺序为 的外旋的意义是：

• 绕 的 轴旋转 ，得到点 的坐标 .
• 绕 的 轴旋转 , 得到点 的坐标 .
• 绕 的 轴旋转 得到目标点 的坐标 .
  于是
  

顺序反过来()的内旋(intrinsic rotation)和上述外旋的结果是一样的. 内旋的意义是

• 绕 的 轴旋转 ，得到点 的坐标 . 坐标系经过同样的旋转形成新的坐标系 .
• 绕 的 轴旋转 , 得到点 . 这个操作，等价于先把 转回 (应用变换 )，然后绕 的 轴旋转 (应用变换 ), 再将 转到 (应用变换 )，所以 在 中的坐标为
  
  坐标系 也在上述变换作用下变成 , 相对 而言是应用了变换 .
• 绕 的 轴旋转 , 得到 . 类似地，这等价于将 转回 , 绕 的 轴旋转 , 再将 转回 , 即