剑指Offer 41—数据流中的中位数

力扣

题意

如何得到一个数据流中的中位数？如果从数据流中读出奇数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后位于中间的数值。如果从数据流中读出偶数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后中间两个数的平均值。

例如：

[2,3,4] 的中位数是 3；

[2,3] 的中位数是 (2 + 3) / 2 = 2.5

设计一个支持以下两种操作的数据结构：

• void addNum(int num) ：从数据流中添加一个整数到数据结构中。
• double findMedian() ：返回目前所有元素的中位数。

 解题思路

题目要求获取一个数据流排序后的中位数，那么可以使用两个优先队列（堆）实现。

题使用一个大顶堆，一个小顶堆完成。

• 大顶堆的每个节点的值大于等于左右孩子节点的值，堆顶为最大值。
• 小顶堆的每个节点的值小于等于左右孩子节点的值，堆顶为最小值。

因此我们使用 大顶堆(maxHeap) 来存储数据流中较小一半的值，用 小顶堆(minHeap) 来存储数据流中较大一半的值。即“大顶堆的堆顶”与“小顶堆的堆顶”就是排序数据流的两个中位数。

如图所示，大顶堆(maxHeap)置于下方，小顶堆(minHeap)倒置于上方，两个堆组合起来像一个沙漏的形状。

根据堆的性质，且大顶堆存放的是较小一半的数值，小顶堆存放较大一半的数值，可以判断两个堆的值从下往上递增，即：

maxHeap堆底 <= maxHeap堆顶 <= minHeap堆顶 <= minHeap堆底。 

---

题目要求获取数据流排序后的中位数，而根据数据流的奇偶性以及堆的性质，将获取中位数的情况分为两类：

1. 数据流为奇数时，保证两个堆的长度相差1，那么长度较大的堆的堆顶就是中位数；
2. 数据流为偶数时，保证两个堆的长度相等，两个堆的堆顶相加除二就是中位数。

那么我们要保证每次插入元素后，两个堆要 维持相对长度。让minHeap为长度较大的堆，每次插入元素时进行判断：

• 当两堆总长度为偶数时，即两堆长度相等，将新元素插入到minHeap，插入后minHeap比maxHeap长度大1；
• 当两堆总长度为奇数时，即两堆长度不等，将新元素插入到maxHeap，插入后两堆长度相等；

还要保证插入元素后，两堆仍是保证从下往上递增的顺序性。如上面的偶数情况，将新元素x直接插入到minHeap，是有可能破坏两堆的顺序性的，例如：（minHeap是存储“较大一半”的值）

• 若x的值恰好为“较大一半”，直接将插入到“较大一半”的minHeap中，是不会破坏顺序的；
• 若x的值为“较小一半”，而此时却插入到“较大一半”的minHeap中，是会破坏顺序的。

那么，每次新元素插入时，都需要先插入到另一个堆，进行重新排序后，再将最值拿出来插入正确的堆中。因此，最终得出的结论为：

• 当两堆总大小为偶数时，即两堆大小相等，先将新元素插入maxHeap，重新排序后将新的最值拿出并插入到minHeap（这样可以保证插入到minHeap的值是较大一半的值）
• 当两堆总大小为奇数时，即两堆大小不等，先将新元素插入minHeap，重新排序后将新的最值拿出并插入到maxHeap（这样可以保证插入到maxHeap的值是较小一半的值）

讲讲C++的priority_queue

priority_queue 优先级队列，只能“从一端进（称为队尾），从另一端出（称为队头）”，且每次只能访问 priority_queue 中位于队头的元素。但是 先进队列的元素并不一定先出队列，而是优先级最大的元素最先出队列。 

每个 priority_queue 容器适配器在创建时，都制定了一种排序规则。根据此规则，该容器适配器中存储的元素就有了优先级高低之分。
举个例子，假设当前有一个 priority_queue 容器适配器，其制定的排序规则是按照元素值从大到小进行排序。根据此规则，自然是 priority_queue 中值最大的元素的优先级最高。

---

STL中，priority_queue容器适配器定义如下：

template ,typename Compare=std::less >
class priority_queue
{
    //......
}

• typename T：指定存储元素的具体类型；
• typename Compare：指定容器中评定元素优先级所遵循的排序规则，默认使用std::less按照元素值从大到小进行排序（即默认是大顶堆），还可以使用std::greater按照元素值从小到大排序（小顶堆），但更多情况下是使用自定义的排序规则。
• typename Container：指定 priority_queue 底层使用的基础容器，默认使用 vector 容器。
  • 作为 priority_queue 容器适配器的底层容器，其必须包含 empty()、size()、front()、push_back()、pop_back() 这几个成员函数， STL序列式容器中只有 vector 和 deque 容器符合条件。

自定义排序

无论 priority_queue 中存储的是基础数据类型（int、double 等），还是 string 类对象或者自定义的类对象，都可以使用函数对象的方式自定义排序规则。例如：

#include
#include
using namespace std;
//函数对象类
template 
class cmp
{
public:
    //重载 () 运算符
    bool operator()(T a, T b)
    {
        return a > b;
    }
};

int main()
{
    int a[] = { 4,2,3,5,6 };
    priority_queue,cmp > pq(a,a+5);
    while (!pq.empty())
    {
        cout << pq.top() << " ";
        pq.pop();
    }
    return 0;
}

C++实现

class MedianFinder 
{
private:
    priority_queue,less> max_heap; //大顶堆，存放较小一半的数值
    priority_queue,greater> min_heap ;//小顶堆，存放较大一半的数值

public:
    /** initialize your data structure here. */
    MedianFinder() 
    {

    }
    
    void addNum(int num) 
    {
        //如果 大顶堆和小顶堆的数值相等，就先将数值插到大顶堆里面，再从大顶堆的顶端拿出元素插到小顶堆里面
        if(max_heap.size()==min_heap.size())
        {
            max_heap.push(num);
            min_heap.push(max_heap.top());
            max_heap.pop();
        }
        else
        {
            min_heap.push(num);
            max_heap.push(min_heap.top());
            min_heap.pop();
        }
    }
    
    double findMedian() 
    {
        if(max_heap.size()==min_heap.size())
        {
            return (max_heap.top()+min_heap.top()) / (double)2;
        }
        else
        {
            return min_heap.top();
        }
    }
};

/**
 * Your MedianFinder object will be instantiated and called as such:
 * MedianFinder* obj = new MedianFinder();
 * obj->addNum(num);
 * double param_2 = obj->findMedian();
 */