【快数学】妙话同构——高中数学同构式秒杀

什么是同构的思想？

将不等式两边构造成具有相同结构的代数式，然后用函数单调性去求解不等式，这就是同构的思想。

同构思想在近年的高考题中挺火的，比如2020全国卷1理10，文10，2020年新高考山东卷22……

人生若只如初见

我们先从一道例题说起：

【快数学】妙话同构——高中数学同构式秒杀

原来神秘的同构竟是这么简单？我们将不同变量分离到不等式两边，两边就自然变成相同的形式了。机智！同构的诀窍就这样被轻易找到了。

是的，学好数学就是要不断总结解题中的规律，让我们在下次面对同类型问题时胸有成足。

好啦，你以为自己学会，准备玩耍去了么？

NO，客官别忙着走，事情远不止这么简单，不信咱们往下看吧。

咱们再来看一个例题：

【快数学】妙话同构——高中数学同构式秒杀

看到这个题的第一反应是不是：解不等式的问题呀，这我拿手，我先去个分母，然后移项合并求根公式 bolabola……

哎等等，为啥出现了六次项，超纲了！？这么复杂的，你是要我去学竞赛！！？

哈哈，用同构呀！看看咱的解法吧。

【快数学】妙话同构——高中数学同构式秒杀

啥？让我仔细看看， 我好像发现了不得的事情啦，不等式还可以这样解的！？这个不等式两边都是相同的变量，同构的思想指导我们，两边还是要变成相同的结构，而且这个结构代表的函数还要是一个单调函数，这样我们就可以通过单调性解不等式啦。

怎么样，酷不酷？你还觉得你能机械化地解决它吗？所以同构思想需要深度剖析代数式的特征，需要我们灵活的代数变形能力。你是不是觉得？将一个不等式（等式）变来变去，直到突然有一个瞬间，一个两边整齐的式子跃然纸上的时候，正是数学之美、思考之美绽放的时候。

让我们总结一下同构解不等式的步骤吧．

1、将不等式两边变形为有相同结构的代数式；

2、找出母函数并确定母函数的单调性；

3、利用单调性解出变量范围．

蓦然回首，她在灯火阑珊处

同构算是函数模块在高考中某一方向的终极考查形式了，但它并不是长在峭壁上的花，它的根，其实就在我们的课堂中，作业练习中。说单调性是函数的核心一点儿不为过，函数、导数中的多少题目都是围绕单调性展开的．同构的题目就是从单调性中最基本的题目衍生来的。且看：

【快数学】妙话同构——高中数学同构式秒杀

题4就不解了呀！看懂了吗朋友们，很多花团锦簇的表象都植根于基础的土壤， 同构也不例外，它并不神秘，只是跳过了演化的中间步骤，考查我们的，就是看 你对基础知识、基础题型的理解有多深刻。

同构不仅在解不等式中应用，它在处理不等式恒成立、证明不等式、解方程等方向均有建树。

【快数学】妙话同构——高中数学同构式秒杀

怎么样，有被惊艳到呢 ，看到这里有没有对同构有一种要强烈探索一番的冲动呢。

万里征途远，秣马再起程

有导数基础的读者可以继续往下看。

导数是研究函数单调性的有力武器，如果说初接触函数是石器时代，那么导数的出现直接把我们带到了蒸汽机时代。有了导数，妈妈再也不担心我搞不定某恶心 函数的单调性了。上个导数中用同构思想的题。

【快数学】妙话同构——高中数学同构式秒杀

这就是同构在导数模块中处理恒成立求参问题的威力．上面那个同构变形可能很多读者会有疑问，小编你是通过什么神通广大的手段就能变到那一步呢，是胡乱试吗？剧透一句，上面的同构变形叫朗博同构，是高考中考频非常高的一种同构形式，这种同构变形是非常有章可循的，我们也总结出了一套操作性非常强的步骤。