电子技术基础之一（电容和电感）

1、电容和电感

先讲一个概念，电流分为直流电和交流电，其中直流电再分为稳定直流电和脉动直流电。
直流电是指电流方向不变的电，交流电则指电流方向随时间变化发生变化的电。而稳定直流电是指，随着时间的变化，其电流方向和电流大小都不变的电。脉动直流电则指随着时间的变化，电流方向不变，但电流大小变化（即有频率）的电。
本文对电容电感的讨论都仅限于对直流电（含稳定、脉动直流电）的探讨。

1.1、电容(Capacitor)

求电容电压电流的源公式：
$$U=\frac{Q}{C}$$
由此推出：
$$\begin{array}{l}u\left(t\right)=\frac{{\int }_{-\infty }^{t}i\left(t\right)dt}{C}=\frac{{\int }_{-\infty }^{0}i\left(t\right)dt+{\int }_0^{t}i\left(t\right)dt}{C}\\ \\ i\left(t\right)=c\frac{du\left(t\right)}{dt}\end{array}$$
拉式变换(Laplace Transform)后：
$$\begin{array}{l}U\left(S\right)=\frac{1}{SC}\left(I\left(0^{-}\right)+I\left(S\right)\right)\end{array}$$

1.1.1、滤波功能

滤波和储能都是分别用到了电容的阻抗特性和储能特性。
容抗的表达式如下：
$$X_C=\frac{1}{2\pi fc}$$
这里的$f$指的是电容电压的频率，而不是电源电压的频率。
且通过电容之后，电压滞后于电流90°。所以容抗在傅里叶变换(Fourier Transform)之后为：
$$X_C=\frac{1}{jwc}$$
由上可知，当容积$c$一定的时候，频率$f$越大，其容抗越小。而由于稳定直流电可以视为频率为0直流电，所以当稳定直流电电通过电容时，电容容抗无穷大，导致有断路的效果。而由于脉动直流电是有一定频率的，所以在此情况下容抗是一个有限值，电流可以通过这个电容。

而滤波正是用到了这种特性，如图所示，电压源中的有频分量会通过线路1进入地，而稳定直流分量通过线路2进入负载M。
当然电容的滤波效果和电容的容积$c$也有很大的关系，当$c$比较小的时候，只有电压频率$f$比较高，才能使容抗小一点，交流电更加容易通过线路1。但是反之$c$比较大的时候，由于材料的问题，会衍生出电感来，这会使得高频电流不容易通过，但如果此时低频频率和容积相乘之后的容抗并不大的话，则低频电流可以通过线路1。
因此才有“大电容滤低频，小电容滤高频”的说法。
值得注意的是，用于滤波的电容是非常小的，通常是$uF$级别，所以这里“大电容”和“小电容”的大小只是相对而言。

1.1.2、储能功能

用于储能的电容一般要比用于滤波的电容大得多，当直流电源通过电容时，电容会慢慢形成一个和电源方向相反的电压，这个过程便是充电过程，或称储能过程。
一个典型的$RC$电路如下：

给$U$一个阶跃电压，电容两端的电压$U_c$公式如下（拉式变换之后）：
$$\begin{array}{l}{X}_c=\frac{1}{2\pi fc}->X_c=\frac{1}{jwc}=\frac{1}{SC}\\ \\ u\left(t\right)=1->U\left(S\right)=\frac{1}{S}\\ \\ U_c\left(S\right)=U\left(S\right)\frac{1}{R+\frac{1}{SC}}\frac{1}{SC}=U\left(S\right)\frac{1}{SRC+1}=\frac{1}{S}\frac{1}{SRC+1}=\frac{1}{S}-\frac{1}{S+\frac{1}{RC}}\end{array}$$
注：由于这里的$f$指的是电容电压的频率，而不是电源电压的频率，所以我们并不知道一开始电容电压的频率是多少，所以只能用微分方程或者借助傅立叶或拉式变换来求。
用KVL列微分方程可以这样写：
$$u\left(t\right)=i\left(t\right)R+u_c\left(t\right)=RC\frac{du\left(t\right)}{dt}+u_c\left(t\right)$$
拉式反变换或者解微分方程之后得到：
$$u_c\left(t\right)=1-e^{-\frac{t}{RC}}$$
此时电容所储存的能量为（在没有初始储能的情况下）：
$$W_c={\int }_0^{t}u\left(t\right)i\left(t\right)dt={\int }_0^{t}u\left(t\right)C\frac{du\left(t\right)}{dt}dt=C{\int }_0^{t}u\left(t\right)du\left(t\right)=\frac{1}{2}C{u}^2\left(t\right)$$
注：由此看出，在没有初始储能的情况下，电容的储能仅于电容的大小$C$和当前时刻的$u\left(t\right)$有关。
最后是放电过程，当电压源被撤走后，求电阻两端的电压$U_R$:

推导公式如下：
$$U_R\left(S\right)=U_C\left(S\right)\frac{R}{R+\frac{1}{SC}}=U_C\left(S\right)\frac{S}{S+\frac{1}{RC}}=\frac{1}{S}\frac{S}{S+\frac{1}{RC}}=\frac{1}{S+\frac{1}{RC}}$$
然后再拉式反变换得出：
$$u_R\left(t\right)=e^{-\frac{1}{RC}t}$$
由上分析可以看出，容积$c$越大，充放电的时间越长，能储存的能量越多。
下图是电容充电放电的示意图：

最后值得一提的是，滤波的本质是容抗的大小与频率有关，而容抗的本质其实就是电容的充放电特性。当电流大小变化时，电容依据其变化选择充电和放电以遏制电流的变化幅度和频率，电容的充电放电又会导致回路有电流通过，此时电容等效于一个特殊电阻，形成所谓通路的状态。

1.2、电感(Inductor)

求电感电压电流的源公式：
$$I=\frac{\varphi }{L}$$
由此推出：
$$\begin{array}{l}i\left(t\right)=\frac{{\int }_{-\infty }^{t}u\left(t\right)dt}{L}=\frac{1}{L}\left({\int }_{-\infty }^{0}u\left(t\right)dt+{\int }_0^{t}u\left(t\right)dt\right)\\ \\ L\frac{di\left(t\right)}{dt}=u\left(t\right)\end{array}$$
拉式变换之后：
$$I\left(S\right)=\frac{1}{L}\left(U\left(0^{-}\right)+U\left(S\right)\right)$$
其感抗的表达式如下：
$$X_L=2\pi fL$$
同样的，这里的$f$指的是电感的电流频率而非电流源的频率。
傅立叶变换之后：
$$X_L=jwL$$
可以看出，当电流频率越小，其感抗越小。特别的，当电流是稳定直流电的时候，其感抗为零，此时的电感相当于一条导线。

1.2.1、楞次定律

楞次定律(Lenz’s Law)可以表述为：感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因。
即一开始电感会阻碍电流的通过，但当电流减小的时候，又会阻碍电流的减小。下面这个例子很好的说明了这一点。
搭建一个电感和电阻串联的模型，然后和分析电容的充放电一样，研究电感的对于阶跃电流的反应。

其中$i_2$是流过电感的电流，可以通过分压公式再结合傅里叶变换得到：
$$I_2\left(jw\right)=\frac{R}{R+jwL}I\left(jw\right)=\frac{R}{R+jwL}.\frac{1}{jw}=\frac{1}{jw}-\frac{L}{jwL+R}$$
再傅里叶反变换之后：
$$i_2\left(t\right)=1-e^{-\frac{R}{L}t}$$
可以看出，电流并不会突变，而是缓慢增加，且$i_2$的方向和电流源的方向是一致的。但当电流源撤离之后，电感又会像电容一样，进行放电。这也对应了楞次定律提到的感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因。

1.2.2、储能作用

储能公式如下：
$$W_L={\int }_0^{t}i\left(t\right)u\left(t\right)dt={\int }_0^{t}i\left(t\right)L\frac{di\left(t\right)}{dt}dt=L{\int }_0^{t}i\left(t\right)di\left(t\right)=\frac{1}{2}L{i}^2\left(t\right)$$
与电容类似，电感在初始储能为零的情况下，某一时刻的能量仅与该时刻的电流大小$i\left(t\right)$以及电感的大小$L$有关。