傅立叶分析导论-2 Basic Properties of Fourier Series

1 Examples and formulation of the problem

Functions on the circle
周期 2π 并且端点值相同的函数和定义在圆周上的函数，本身是同一个东西。理解起来比较抽象，就好像1个猴子和1头猪，都是1。

1.1傅里叶系数 an 总是存在的，因为可积函数的积可积。

5 cesaro and abel summability

corollary 5.3与theorem 2.1不同，更简单，因为cesaro的傅里叶级数是一致收敛到f的，而证明2.1的时候不知道这个
同样corollary5.4也是

Theorem 5.7
(1)根据比例判别法可以得出任意阶倒数序列和收敛半径都是1，拉普拉斯算子等于0计算得到
(3)
∫(∂2v∂r2+1r∂v∂r+1r2∂2v∂θ2)e−inθ=0
对前两项交换积分和偏导顺序，最后一项根据书中提示即可得出结论。

6 Exercises

1.
第一套等式替换 x=y+2π 和 x=y−2π
第二套等式先把a变换到$[-\pi,\pi]，再分别考虑大于0和小于0

2.abcd直接根据傅里叶系数计算即可
e考虑sin和cos的每一项的实部和虚部

3.
根据hint，每一个x，级数都是收敛的，根据Corollary2.3，证明完成。

4.
5.
6.
计算即可

7.所有数学分析书中都有证明

8.傅里叶级数为 ∑sinnxn ，由于 ∑sinnx 有界， 1/n 单调递减到0，根据练习7证明完成。

9.
(a)简单
(b)要求证明非绝对收敛，提示如何证明，如何根据提示证明最后结果？
(c)收敛性的证明类似练习8，如果 a=−π，b=π ，则所有级数消失，除了 b−a2π

10.
把Corollary2.4分部积分继续下去即可

11.
|f^k(n)−f^(n)|≤12π∫π−π|f−fk|e−inθdθ≤12π∫π−π|f−fk|dθ ，趋于0，且跟n没关系，证明完成。

12.
对于复数，可以分别计算实部和虚部，所以只需要考虑实数即可。
如果 sn→0 的情况以及证明，如果 s≠0 ，那么考虑 dn=cn+s ，那么 tn=∑dn=s+sn ，那么