自旋耦合

本部分主要介绍自旋算符和自旋耦合

BQEDP讨论的粒子包括电子、正电子和光子。在量子力学中，电子自旋为，光子自旋为。电子自旋有两个方向——向上或者向下，分别对应自旋第三分量和；光子有两个极化方向——右旋和左旋，分别对应自旋第三分量和。这是相对论性波动方程——Dirac方程和Klein-Gordon方程解的必然(参考基本量子电动力学振幅计算（四）和基本量子电动力学振幅计算（五）)。在非相对论性量子力学中，Schrodinger方程的解仅可以提供三个量子数描述一个氢原子体系——主量子数、轨道量子数和磁量子数。氢负离子()的两个电子有相同的三个量子数，而根据Pauli不相容原理(Pauli exclusion principle)描述他们的量子数必然有不同的，这意味着必须存在第四个量子数去描述一个费米子量子体系。这第四个量子数便是自旋(spin)。

自旋算符

自旋用旋量表示，自旋向上和向下分别记为：

自旋算符是一个矢量算符，它在三个方向上的分量为：

自旋算符可以写成，在三个方向上的分量为：

其中被称为Pauli自旋矩阵(Pauli spin matrices)。

自旋耦合

两个费米子组成的量子体系的总自旋由这两个费米子的自旋得到，被称为自旋耦合。这部分首先直接给出一般角动量耦合的公式，接着对两个粒子的自旋耦合进行讨论。

假设有两个粒子，它们的角动量和角动量第三分量分别记为和。那么它们之间耦合得到的总角动量和总角动量的第三分量为：

其中，称为Clebsch-Dordan系数(Clebsch-Gordan coefficients，简称C-G系数)。用旋量标记两个费米子的自旋，考虑它们之间的耦合：

得到三个自旋为的态：

和一个自旋为的态：

其中三个自旋为的态称为三重态(triplet)，一个自旋为的态称为单态(singlet)。如果使用箭头表示自旋的方向，表示自旋向上，表示自旋向下，那么自旋三重态和自旋单态的自旋波函数可以简单的表示为：

其中自旋为的波函数满足交换对称性，自旋为的波函数满足交换反对称性。至此得到两个费米子耦合时自旋的耦合波函数。