作为最早应用在美国阿波罗登月项目上的kalman滤波，在很多领域都有不同的应用，这篇文章主要对kalman的主要原理进行介绍，并在最后的部分给出了一个简单的实现。
状态转移
假设我们对于一辆汽车的状态进行观测，观测的状态包括了位置和速度信息，该汽车在时刻t的状态可以表示为
其中位置 Pt表示汽车的位置状态，vt为汽车的速度状态，考虑加速度ut,以及相邻时间间隔△t，具体可以写成
可以发现，上式中的状态输出为输入的线性组合，这也是为什么kalman滤波器又叫做最佳线性滤波器的原因。
将上述线性组合用矩阵表示，为
其中令Ft表示状态转移矩阵，Bt为控制矩阵，分别为
这样就可以得到Kalman滤波的第一个公式，状态预测公式
这里的变量上面戴了个尖帽子，这是由于这个变量是个估计量，另外，变量右上角的-则表示这个变量是由上一时刻的推测得到，既然是由推测得到，说明这个值是需要进行修正的，后面我们将会具体介绍如何进行修正。
回到上面的状态预测公式，我们利用这个公式推测出当前的状态，对当前的状态进行预测会不会存在什么问题呢？答案是肯定的，在预测的过程中，是会收到噪声的影响的，含有的噪声越大，我们预测得出的状态它的不确定性就会越大。
关于这种不确定性，需要通过协方差矩阵进行衡量。
下面就对协方差矩阵进行了解，协方差矩阵除了表示了两个维度变量的方差，还体现了两个维度变量之间的相关性。其矩阵中的正对角线即为两个变量的方差，负对角线则为两个变量之间的协方差，如果两个变量的协方差值为正，说明两个变量是正相关的，为负则表示负相关，不相关即为0.
在搞清楚了如何衡量状态预测过程中的不确定性后，可以理解的是，这种不确定性并不会永恒不变，我们在不断进行状态预测的同时，也需要了解这个时候状态预测带来的不确定性是如何变化的。
噪声协方差矩阵的传递
这种不确定性的变化，我们将其定义为噪声协方差矩阵的传递，也就是表明了不确定性在各个时刻时的传递关系，对于噪声协方差矩阵的传递，可以表示为
上面的式子中有用到协方差矩阵的一个性质，
由上一时刻的噪声协方差矩阵推测出当前状态下的噪声协方差矩阵，在传递的过程中，还需要考虑由于预测模型本身带来的噪声影响，用Q表示预测模型本身带来的噪声的协方差矩阵。
这个时候，我们已经得到当前时刻的状态预测以及此时的噪声协方差矩阵，当我们完成预测，出现的一个新的问题就是，这个预测的结果我们可以直接用吗？答案显然是不可以的，毕竟我们预测的值同实际的值之间还是存在一定偏差的，既然存在偏差，就需要对预测的状态进行修正，也就是所谓的状态更新。
状态更新
在对预测状态进行更新的时候，需要考量预测状态与观测值之间的偏差，若观测值为Zt,其可以表示为
其中H为观测矩阵，v表示观测过程中引入的噪声，其协方差矩阵为R。假设这里我们只对汽车运动状态中的位置进行观测，那么此时的观测矩阵可以写成
得到观测矩阵后，利用实际观测值和预期观测值，可以计算两者之间的残差为
根据这个残差，我们可以对预期的观测值进行修正，具体的修正表述为
其中Kt为kalman增益，它的作用主要是权衡预测状态中的协方差矩阵P和观测时候引入的噪声协方差矩阵R的大小，根据两者大小判断最终的更新是相信预测模型还是观测模型多一点。这个Kt的推导较为复杂，直接给出为
至此，我们可以得到当前状态的更新，除了对状态进行更新，同样的噪声协方差矩阵也需要进行更新，更新公式为
综上，我们将kalman滤波的几个公式放在一起，分成两个部分，一个部分进行预测，另外一个则进行更新。
在搞清楚了Kalman滤波后，下面考虑如何利用一个简单的例子进行建模，设小雷开着车，这辆车以1m/s的速度进行行驶，在100m的位置处停止。
首先可以得到观测值
Zt = 1:100;
前面有提到，在观测的时候会引入噪声，所以我们给观测值加了方差为1的高斯白噪声，这个地方我又在生成的噪声后面乘了0.2，目的是为了使例子的效果更加直观，减小了观测时的噪声影响。
Zt_noise = randn(1,100);
Zt_noise = Zt_noise * 0.2;
所以最终构建的观测值就为
Zt = Zt + Zt_noise;
然后构造预测模型中的预测初始状态，状态协方差矩阵
Xt = [0; 0];
Pt = [1 0; 0 1];
设置状态转移矩阵Ft，以及状态转移所在的预测模型本身带来的噪声的协方差矩阵Q
Ft = [1 1; 0 1];
Q = [0.0001 0; 0 0.0001];
除了上述需要构建的变量外，观察kalman滤波的五个公式，我们还需要观测矩阵和观测噪声的协方差矩阵R
H = [1 0];
R = 1;
最后直接利用kalman滤波的五个公式进行不断迭代计算，并将最后的结果plot了出来
for ii = 1:100
Xt_ = Ft * Xt;
Pt_ = Ft * Pt * Ft' + Q;
Kt = Pt_ * H'/(H * Pt_ * H' + R);
Xt = Xt_ + Kt * (Zt(ii) - H * Xt_);
Pt = (eye(2) - Kt * H) * Pt_;
end
得到的Kalman滤波结果如下
这个系列的内容基本写完，有空接着写。
题图：RyanMcGuire，from Pixabay