数据结构与算法-时间复杂度与空间复杂度

今天开始学习王争老师的数据结构与算法。

一、时间复杂度

1、时间复杂度由来

1.1、上面代码段中，第2,3行执行分别需要1个unit_time的执行时间，第4,5执行分别需要n个unit_time的执行时间，所以这段代码总的执行时间为T（n）=（2+2n）*unit_time。

1.2、上面的代码中，第2,3,4分别需要1个unit_time的执行时间，第5,6行分别需要n个unit_time的执行时间，第7,8行分别需要n²个unit_time的执行时间，所有这段代码总的执行时间为T（n）=（3+2n+2n²）*unit_time。

由以上两个可总结出执行时间大O的公式T(n)=O(f(n))，由于当N很大时，公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略，因此1.1和1.2中T(n)=O(n),T(n)=O(n²)，这就是时间复杂度的公式。

2、时间复杂度分析

2.1 只关注循环执行次数最多的一段代码

2.2 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

2.3 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

3、几种常见时间复杂度实例分析

可以粗略的分为多项式量级和非多项式量级

非多项式量级：O(2ⁿ)和O(n!)

多项式量级：O(1)

非多项式量级的算法问题叫做NP(Non-DeterministicPolynomial，非确定多项式)问题，当n很大时，执行时间会急剧增加。

3.1 多项式量级

1、O(logn)、O(nlog(n))

如上，要求执行时间，那么只要知道while循环里面执行了多少次即可，那么i是变化的，假设执行x次之后退出循环，即2的x次方=n，所以x=log₂N，也就是说这段代码的执行时间为O(n)=O(log(n))，根据乘法法则，如果while外层再套一个for循环，那么O(n)=O(nlogn)

2、O(m+n)，O(m*n)

如上图代码，如果代码的复杂度由两个数据的规模决定，那么无法事先评估m和n谁的量级大，那么就不能使用加法法则忽略一个，这里就需要统计两个的量级O(n)=O(f(m)+f(n))，但是乘法法则依然有效，即O(n)=O(f(m)+f(n))

二、空间复杂度

常见的有O(1)，O(n)，O(n²)，像O(logn)和O(nlogn)不常用

如上图代码中，第2行是常量阶，可以忽略，第3行中申请了大小为n的空间，所以整段代码的空间复杂度为O(n)

补充：

最好情况时间复杂度，最快情况时间复杂度，平均情况时间复杂度，均摊时间复杂度。

其中平均情况时间复杂度和均摊时间复杂度看得比较懵。

个人理解，以下代码为例

平均时间复杂度：第一种思路：add方法有两种情况，第一种是数组没满，这时候每次进来都是O(1),如果数组满了，那么进来就是O(n),所以O(1)的情况有n个，O(n)的情况有1个，总共进来了n+1次，那么由每次进来的概率计算公式可得O(n)=(1+1...+1+n)/(n+1)，其中加了n个1，所以O(n)=2n/(n+1)，也即O(n)=O(1)。

第二种思路：使用加权平均值，由于存在两种情况，假设两种情况的概率都为1/2，第一种情况的每个概率都是1/n。所以总的O(n)=1*1/2n+1*1/2n+...+1*1/2n+n*1/2n=O(1)。

均摊算法时间复杂度，前n次操作都是O(1),第n+1次操作是O(n),那么将最大的一次时间复杂度分摊到前面的n次中，可得每次操作的时间复杂度为O(1)。

讲真，模模糊糊的，似懂非懂，还是挺懵的，以后再慢慢消化，希望能慢慢理解。