算法与数据结构 | 基于Python实现的棋盘覆盖问题可视化（分治算法）

目录

问题描述

一、什么是分治法（Divide-and-Conquer）？

1.分治法的基本思想

2.分治法的使用场景

二、分治法解决棋盘覆盖问题 

1.数据抽象

2.递归求解 

三、Python实现算法可视化

1.代码实现

2.运行界面

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问题描述

在一个个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其它方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。在棋盘覆盖问题中，要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。

例如：

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 对棋盘覆盖有了一个初步理解之后，采用分治法的思想能够很好的解决该问题。

一、什么是分治法（Divide-and-Conquer）？

1.分治法的基本思想

对于一个规模为n的问题，若n很容易解决（n很小）则直接求解，否则将问题划分为k（1

2.分治法的使用场景

分治算法生成的子问题总是原始问题的较小模式，这为使用递归技术提供了便利。在这种情况下，通过反复使用分而治之的方法，子问题的类型可以与原始问题保持一致，但规模不断缩小，直到子问题可以轻松直接地解决为止。因此递归过程是自然生成的。在算法设计中应用分治算法和递归可以提高效率。分治算法可以解决的问题一般具有以下特点。

1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决

2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质

3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解

4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题

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二、分治法解决棋盘覆盖问题 

1.数据抽象

棋盘覆盖问题的已知条件是在一个的棋盘上有一个特殊方格，因此算法的输入可以用来表示棋盘的大小，用(dr, dc)来表示特殊方格在棋盘中的位置。棋盘覆盖问题的输出结果是一个覆盖了L 形骨牌的棋盘，如何表示三个方格被同一个L形骨牌覆盖称为关键，将数据抽象成程序设计语言方便处理的形式，可以直接使用整数来填充表示被同一个L形骨牌覆盖的三个方格。这样就完成了棋盘覆盖问题中输入/输出数据的抽象。

2.递归求解 

将2k x 2k的棋盘划分为2(k-1) x 2(k-1)这样的子棋盘4块，递归填充各个棋子，填充分为四个情况，递归的出口为k=0，也就是子棋盘的方格数为1，递归填充的四种情况：

1. 如果特殊方格在左上子棋盘，则递归填充左上子棋盘；否则填充左上子棋盘的右下角，将右下角看作特殊方格，然后递归填充左上棋盘。
2. 如果特殊方格在右上子棋盘，则递归填充右上子棋盘；否则填充右上子棋盘的左下角，将左下角看作特殊方格，然后递归填充右上棋盘。
3. 如果特殊方格在左下子棋盘，则递归填充左下子棋盘；否则填充左下子棋盘的右上角，将右上角看作特殊方格，然后递归填充左下棋盘。
4. 如果特殊方格在右下子棋盘，则递归填充右下子棋盘；否则填充右下子棋盘的左上角，将左上角看作特殊方格，然后递归填充右下棋盘。

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三、Python实现算法可视化

1.代码实现

mathplotlib实现可视化，tkinter实现人机交互界面。

import tkinter as tk
from matplotlib import image
from matplotlib.pyplot import pause
import numpy as np
cnt = 0

def change_rgb(rgb):
    return "#%02x%02x%02x" % rgb

def countboard(board):
    global countbox
    n = len(board)
    n = n*n
    countbox = [-1 for x in range(n)]
    k = 0
    for i in range(len(board)):
        for j in range(len(board)):
            countbox[k] = board[i][j]
            k+=1
    countbox = np.unique(countbox)
    for i in range(len(board)):
        for j in range(len(board)):
            for k in range(len(countbox)):
                if board[i][j] == countbox[k]:
                    board[i][j] = k


def drawboard(canvas1, board, startx=50, starty=50, cellwidth=50):
     width = 2 * startx + len(board) * cellwidth
     height = 2 * starty + len(board) * cellwidth
     canvas1.config(width=width, height=height)

     global cnt
     cnt+=1 
     for i in range(len(board)):
         for j in range(len(board)):
             index = board[i][j]
             if index != -1:
                 if index == 0:
                    color = 'red'
                 elif index == 1:
                    color = 'gold'
                 elif index == 2:
                    color = 'blue'
                 elif index == 3:
                    color = 'green'
                 elif index <= cnt:
                    tc = (255-index*12, 255-index*10, index*10)
                    color = change_rgb(tc)
                    board[i][j] == -1
                 else:
                    color = 'white'
             cellx = startx + i * 50
             celly = starty + j * 50
             canvas1.create_rectangle(cellx, celly, cellx + cellwidth, celly + cellwidth,
                                         fill=color, outline="black")
     canvas1.after(1000, drawboard, canvas1, board)

def ChessBoard(tr, tc, dr, dc, size):
    global mark
    global Board
    mark += 1
    count = mark
    if size == 1:
        return
    s = size // 2
    # 覆盖左上角子棋盘
    if dr < tr+s and dc < tc+s:
        ChessBoard(tr, tc, dr, dc, s)
    else:
        Board[tr+s-1][tc+s-1] = count
        ChessBoard(tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s)
    # 覆盖右上角子棋盘
    if dr < tr+s and dc >= tc+s:
        ChessBoard(tr, tc+s, dr, dc, s)
    else:
        Board[tr+s-1][tc+s] = count
        ChessBoard(tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s)
    # 覆盖左下角子棋盘
    if dr >= tr+s and dc < tc+s:
        ChessBoard(tr+s, tc, dr, dc, s)
    else:
        Board[tr+s][tc+s-1] = count
        ChessBoard(tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s)
    # 覆盖右下角子棋盘
    if dr >= tr+s and dc >= tc+s:
        ChessBoard(tr+s, tc+s, dr, dc, s)
    else:
        Board[tr+s][tc+s] = count
        ChessBoard(tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s)


def showImage(Board):
    n=len(Board)
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            print(Board[i][j], end=' ')
        print(' ')


def Input():
    global Board
    global mark
    mark = 0
    n=entry_board_size.get()
    x=entry_board_x.get()
    y=entry_board_y.get()
    n=2**int(n)
    board = np.zeros(shape=[n, n], dtype=int)

    Board = [[-1 for x in range(n)] for y in range(n)]
    ChessBoard(0, 0, int(x), int(y), n)
    countboard(Board)

    window_chessboard = tk.Toplevel(window)
    window_chessboard.title('Chessboard')

    canvas1 = tk.Canvas(window_chessboard, bg="white")
    canvas1.pack()
    # button = tk.Button(window_chessboard, text="Next", font=('Arial', 15), command = drawboard(canvas1, Board))
    # button.pack()
    drawboard(canvas1, Board)
    showImage(Board)


window = tk.Tk()
window.title('Chessboard Coverage')
window.geometry('800x400')
window.resizable(width=False,height=False)
tk.Label(window, text = 'Chessboard Coverage', font=('Times New Roman',25)).place(x=240,y=50)
tk.Label(window, text = "输入棋盘大小（2的幂指数）：",font=('Arial',15)).place(x=70, y=150)
var_board_size = tk.StringVar()
entry_board_size = tk.Entry(window, textvariable=var_board_size, font=('Arial',15))
entry_board_size.place(x=350, y=150)
tk.Label(window, text = "输入特殊方格位置：", font=('Arial',15)).place(x=70,y=200)
tk.Label(window, text = "横坐标x:", font=('Arial',15)).place(x=150,y=250)
var_board_x = tk.StringVar()
entry_board_x = tk.Entry(window, textvariable=var_board_x, font=('Arial',15))
entry_board_x.place(x=230, y=250)
tk.Label(window, text = "纵坐标y:", font=('Arial',15)).place(x=450,y=250)
var_board_y = tk.StringVar()
entry_board_y = tk.Entry(window, textvariable=var_board_y, font=('Arial',15))
entry_board_y.place(x=530, y=250)
btn = tk.Button(window, text = "Run", font=('Arial',15),command = Input).place(x=350,y=300)

window.mainloop()

2.运行界面