Sobolev紧嵌入

这篇笔记整理一下紧嵌入定理的证明, 试图尽量干净地处理这件事情. 主要参考的是Adams的书和Evans的书.
我们首先不加说明地引入上的磨光函数和磨光函数族, 以及平移算子, 然后叙述一个引理.

引理1. 设, 则对任何, 有
证明. 时, 直接计算:





的情形是完全类似的, 甚至更容易, 不需要用到Holder不等式.

接下来我们设是有界区域(即连通开集), 我们需要考察中的列紧集(这里列紧的定义按张恭庆的书, 也即Rudin和Adams的书中的准紧)是什么样的. 我们用下面的引理刻画这些集合.

引理2. 设. 对上的函数, 定义为它在上的零延拓. 则有界子集是列紧集当且仅当对任何, 存在着一个使得对任何有.
证明. 先证明必要性. 设是列紧的, 则也是列紧的. 固定, 存在着的有限网. 由于在中稠密, 故存在使得, 如此一来是的网.
显然(证明略)存在着使得, . 那么对任何, 存在使得, 从而, 有


从而.
再证充分性. 为此任意固定我们需要找列紧的网. 事实上, 我们取使得, , 然后考虑集合, 由引理1知这是的一个网, 中的函数在上的限制也是的网. 然后我们需要说明在中是列紧的. 注意到, , 从而在中有界并且等度连续, 从而在中列紧, 从而在中列紧.

我们还需要一个引理.
引理3. 设, , 则.
证明. 先考虑的情形. 此时