【图论——第九讲】染色法判定二分图

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一、前言

二分图定义：

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。

简而言之，就是顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集，两个子集内的顶点不相邻。

染色法简介：

把图中的点染成黑色和白色。

首先随便取一个点染成白色，然后将其相邻的点染成黑色，如果发现有相邻且同色的点，那么就退出，可知该图并非二分图，如果所有的点都被染色，并且没有出现颜色冲突，可知该图为二分图。

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二、二分图的判定

推荐图的遍历

dfs版本

代码思路：

• 染色可以使用1和2区分不同颜色，用0表示未染色
• 遍历所有点，每次将未染色的点进行dfs, 默认染成1或者2
• 由于某个点染色成功不代表整个图就是二分图,因此只有某个点染色失败才能立刻break/return
• 染色失败相当于存在相邻的2个点染了相同的颜色

#include 
#include 
#include 

using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = 2e5 + 10; // 由于是无向图, 顶点数最大是N，那么边数M最大是顶点数的2倍
int e[M], ne[M], h[N], idx;
int st[N];

void add(int a, int b){
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

bool dfs(int u, int color) {
    st[u] = color;

    for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]){
        int j = e[i];
        if(!st[j]) {
            if(!dfs(j, 3 - color)) return false;
        }else if(st[j] == color) return false;
    }

    return true;
}

int main(){
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m --){
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b), add(b,a);  // 无向图，a->b, b->a
    }

    bool flag = true;
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        if(!st[i]){
            if(!dfs(i, 1)){
                flag = false;
                break;
            }
        }
    }

    if(flag) puts("Yes");
    else puts("No");
    return 0;
}

bfs版本

代码思路

• 颜色 1 和 2 表示不同颜色, 0 表示 未染色
• 定义queue是存PII，表示 <点编号, 颜色>,
• 同理，遍历所有点, 将未染色的点都进行bfs
• 队列初始化将第i个点入队, 默认颜色可以是1或2
• while (队列不空)
• 每次获取队头t, 并遍历队头t的所有邻边
• 若邻边的点未染色则染上与队头t相反的颜色，并添加到队列
• 若邻边的点已经染色且与队头t的颜色相同, 则返回false

#include 
#include 
#include 

using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = 2e5 + 10;
typedef pair<int, int> PII;

int e[M], ne[M], h[N], idx;
int n, m;
int st[N];

void add(int a, int b){
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

bool bfs(int u){
    int hh = 0, tt = 0;
    PII q[N];
    q[0] = {u, 1};
    st[u] = 1;

    while(hh <= tt){
        auto t = q[hh ++];
        int ver = t.first, c = t.second;

        for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i]){
            int j = e[i];

            if(!st[j])
            {
                st[j] = 3 - c;
                q[++ tt] = {j, 3 - c};
            }
            else if(st[j] == c) return false;
        }
    }

    return true;
}

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);
    while(m --){
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b), add(b, a);
    }

    int flag = true;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        if (!st[i]){
            if(!bfs(i)){
                flag = false;
                break;
            }
        }
    }

    if (flag) puts("Yes");
    else puts("No");
    return 0;
}

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最后

莫言真理无穷尽，寸进自有寸进欢