6050. 字符串的总引力（子串分值和）

6050. 字符串的总引力

前言

实际上这是蓝桥真题，和子串分值和一样

---

子串分值和

题目描述

对于一个字符串$S$，我们定义$S$的分值$f(S)$为$S$中出现的不同的字符个数。例如$f("abc")=3,f("aba")=2,f("aaa")=1$。

现在给定一个字符串$S$，请你计算所有$S$的非空子串$S[i...j](0\le i\le j＜n)$，$f(S[i...j])$的和是多少。

输入描述

输入一行包含一个由小写字母组成的字符串$S$。
其中，$1\le n\le 10^5$。

输出描述

输出一个整数表示答案。

样例

输入#1

ababc

输出#1

28

输入#2

code

输出#2

20

---

思路

显然这是一个典型$n^2$题，但是$10^5$的数据不可能过。那么这个时候就要转换思路了。

我们可以考虑对于每一个字符 $S_i$，它对最终的结果做出的贡献 $W_i$ 是多少，那么答案自然是$\sum _{i=0}^{n-1}{W}_i$。

在此，我们定义贡献wi为：包含当前字符且当前字符之前不在含有该字符的所有字符串的个数。

这是我自己给的定义，应该很抽象。

以样例一举例说明：$ababc$，第二个$a$对答案的贡献是多少？

可以算得结果是 $6$：

ba
bab
babc
a
ab
abc

为什么这样是对的？（也就是左边有限制（到左边过去第一个同字符），右边无限制（一直到字符串末尾））

不会证明，但是如果前面还含有该字符，当前字符是不在产生贡献的。（因为在计算之前那个字符的时候，已经包含了当前字符的情况）。而且这样不重不漏的包含了所有情况数。

---

题解

法一：计算贡献

• 我们用$a$数组来记录字符最后出现的位置。
• 下标从$0$开始，所以对于字符第一次出现，左侧应该是 $i+1$ 个字符，那么初始化 $a$数组为$-1$就很好的解决了。

class Solution {
public:
    long long appealSum(string s) {
        int n = s.size();
        int a[26];
        memset(a, -1, sizeof a);
        long long res = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int x = s[i] - 'a';
            res += (i - a[x]) * (n - i);
            a[x] = i;
        }
        return res;
    }
};

---

法二：动态规划

• 定义$f[i]$：表示以$i$为结尾的所有子字符串的产生的贡献值。

  • 对于$S[0...i-1]$所有的贡献都会计入$S[0...i]$，即$f[i-1]$

  • 设$S_j==S_i$：那么以$S_i$结尾的字符，不会对$S[0...j]$的之前产生贡献，被$S_j$顶替了。但对$S[j+1...i]$之间的字串能产生 $1$ 点贡献，即 $i-j$。

  • 递推方程：$f[i]=f[i-1]+i-j$

• 答案： $\sum _{i=0}^{n-1}{f}_i$

class Solution {
public:
    long long appealSum(string s) {
        int n = s.size();
        vector<int> a(26, -1);
        vector<int> f(n, 0);
        f[0] = 1;
        a[s[0] - 'a'] = 0;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            int x = s[i] - 'a';
            f[i] = f[i - 1] + i - a[x];
            a[x] = i;
        }
        long long res = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) res += f[i];
        return res;
    }
};

优化掉一维数组：

class Solution {
public:
    long long appealSum(string s) {
        vector<int> a(26, -1);
        long long num = 0, res = 0;
        for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
            int x = s[i] - 'a';
            num += i - a[x];
            res += num;
            a[x] = i;
        }
        return res;
    }
};

---

子串分值

题目描述

对于一个字符串$S$，我们定义$S$的分值$f(S)$为$S$中恰好出现一次的字符个数。例如$f("abc")=3,f("aba")=1,f("aaa")=0$。

现在给定一个字符串$S$，请你计算所有$S$的非空子串$S[i...j](0\le i\le j＜n)$，$f(S[i...j])$的和是多少。

输入描述

输入一行包含一个由小写字母组成的字符串 $S$。

输出描述

输出一个整数表示答案。

样例

输入#1

ababc

输出#1

21

---

思路

• 计算单点贡献，由于是恰好出现一次，所以考虑左右同字符。（即左右都有限制）

• $S_l==S_i(l<i)$ ，$S_r==S_i(r>i)$

  • 贡献：$(i-l)\ast (r-i)$

• 考虑一下首尾的特殊情况，即左或右没有。那么我是对字符下标数组左右加上 $0$ 和 $n+1$

---

题解

#include 
using namespace std;

int main() {
    string s; cin >> s;
    int n = s.size();
	vector<int> a[26];
    s = '@' + s;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x = s[i] - 'a';
        if (a[x].size() == 0) a[x].push_back(0);
        a[x].push_back(i);
    }
    for (int i = 0; i < 26; i++) {
        if (a[i].size()) a[i].push_back(n + 1);
    }
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < 26; i++) {
        auto& v = a[i];
        if (!v.size()) continue;
        for (int j = 1; j < v.size() - 1; j++)
        	res += (v[j] - v[j - 1]) * (v[j + 1] - v[j]);
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

---