leetCode 300 最长递增子序列（dp，二分查找）

题目链接：点击查看

题目描述：

给定一个未排序的整数数组，求最长的递增子序列。

输入输出：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]

输出：4

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]

输出：4

注意事项：按照 LeetCode 的习惯，子序列（subsequence）不必连续，子数组（subarray）或子字符串 （substring）必须连续

题目分析：

对于子序列问题，第一种动态规划方法是，定义一个 dp 数组，其中 dp[i] 表示以 i 结尾的子序列的性质。在处理好每个位置后，统计一遍各个位置的结果即可得到题目要求的结果。在本题中，dp[i] 可以表示以 i 结尾的、最长子序列长度。对于每一个位置 i，如果其之前的某个位置 j 所对应的数字小于位置 i 所对应的数字，则我们可以获得一个以 i 结尾的、长度为 dp[j]+ 1 的子序列。为了遍历所有情况，我们需要 i 和 j 进行两层循环，其时间复杂度为 O( n2)。

 

代码：

int lengthOfLIS(vector& nums) 
{
   int max_length=0,n=nums.size();
   if(n<=1)
   return n;
   vectordp(n,1);
   for(int i=0;inums[j])
		 {
		    dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);	
		 }	
	  }
	  max_length=max(max_length,dp[i]);	
   }
   return max_length; 
}

优化：

本题还可以使用二分查找将时间复杂度降低为 O(n log n)。我们定义一个 dp 数组，其中 dp[k] 存储长度为 k+1 的最长递增子序列的最后一个数字。我们遍历每一个位置 i，如果其对应的数字大于 dp 数组中所有数字的值，那么我们把它放在 dp 数组尾部，表示最长递增子序列长度加 1；如果我们发现这个数字在 dp 数组中比数字 a 大、比数字 b 小，则我们将 b 更新为此数字，使得之后构成递增序列的可能性增大。以这种方式维护的 dp 数组永远是递增的，因此可以用二分查找加速搜索。详见如下代码。

 

代码：

int lengthOfLIS(vector&nums)
{
	int n=nums.size();
	if(n<=1)
	return n;
	vectordp;
	dp.push_back(nums[0]);
	for(int i=1;i