高等数学前置知识——二次函数

二次函数

1.1 二次函数

二次函数的定义：y = ax² + bx + c（其中 a ≠ 0 ，b和c没有要求）

二次函数的性质：

• 连续性
• 可导性
• 奇偶性
• 单调性

1.2 二次函数的图像

1.2.1 a > 0 时

由上图可知：

• 顶点：都为（0，0）
• 对称轴：都为 y轴（x = 0）
• 奇偶性：都为 偶函数
• 单调性：y轴的左侧都为单调递减，y轴的右侧都为单调递增
• 开口大小：|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大

1.2.2 a < 0 时

由上图可知：

• 顶点：都为（0，0）
• 对称轴：都为 y轴（x = 0）
• 奇偶性：都为 偶函数
• 单调性：y轴的左侧都为单调递增，y轴的右侧都为单调递减
• 开口大小：|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大

1.2.3 二次函数的平移

对x（沿x轴移动）：左加，右减

• y = x²，y = (x + 1)²，y = (x -3)² 的图像如下所示：

对y（沿y轴移动）：上加，下减

• y = x²，y = x² + 3，y = x² - 4 的图像如下所示：

1.2.4 普通二次型函数图像总结

1.3 其他形式的二次函数

1.3.1 顶点式

二次函数的顶点式形式：y = a(x - h)² + k (a ≠ 0，a、h、k为常数)

• 顶点：（h，k）
• 对称轴：x = h
• 开口方向：a > 0，开口向上；a < 0，开口向下

1.3.2 交点式

二次函数的交点式形式：y=a(x - x₁)(x - x₂)(a ≠ 0，x₁、x₂为常数)。未必所有的二次函数都可以化为交点式

与x轴交点：(x1, 0),（x2, 0）

开口方向：a > 0，开口向上；a < 0，开口向下

对称轴：$x=\frac{x_1+x_2}{2}$

1.4 二次函数与直线的交点

二次函数 y = ax² + bx + c 与 直线 y = kx + m ：

1. 二式联立得：ax² + bx + c = kx + m
2. 解方程：ax² + (b - k)x + c-m = 0
3. 判别式：Δ = (b - k)² - 4a(c-m)
   1. Δ < 0，没有交点
   2. Δ = 0，有一个交点
   3. Δ > 0，有两个交点