Leetcode刷题详解——最小路径和

1. 题目链接：64. 最小路径和

2. 题目描述：

给定一个包含非负整数的 *m* x *n* 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

**说明：**每次只能向下或者向右移动一步。

示例 1：

输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2：

输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12

提示：

• m == grid.length
• n == grid[i].length
• 1 <= m, n <= 200
• 0 <= grid[i][j] <= 200

3. 解法（动态规划）

3.1 算法思路：

3.1.1 状态表示：

dp[i][j]表示：到达[i,j]位置处，最小路径和是多少

3.1.2 状态转移：

如果 dp[i][j]表示到达 [i,j]位置处的最小路径和，那么到达[i,j]位置之前的一小步，有两种情况：

1. 从[i-1,j]向下走一步，转移到[i,j]位置
2. 从[i,j-1]向右走一步，转移到[i,j]位置

dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i-1][j-1]

3.1.3 初始化：

可以在最前面加上一个辅助结点，帮助我们初始化。使用这种技巧要注意两个点：

1. 辅助结点里面的值要保证后续填表是正确的

2. 下标的映射关系

3. 在本题中，添加一行和添加一列后，所有位置的值可以初始化为无穷大，然后让dp[0][1]=d[1][0]=0即可
   

3.1.4 填表顺序：

根据状态转移方程的推导来看，填表的顺序就是从上往下填每一行，每一行从左往右

3.1.5返回值：

根据状态表示，我们要返回的结果是dp[m][n]

3.2 C++算法代码：

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector>& grid) {
        int m=grid.size();
        int n=grid[0].size();
        //创建dp表
        vector>dp(m+1,vector(n+1,INT_MAX));
        //初始化
        dp[0][1]=0,dp[1][0]=0;
        //填表
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i-1][j-1];
            }
        }
        //返回结果
        return dp[m][n];
    }
};