线性代数 第二章 矩阵

一、概念

mxn个数排成的m行n列的表格

二、运算法则

三、初等变换

（1）用非零常数k乘矩阵的某一行（列）；

（2）互换矩阵某两行（列）的位置；

（3）把某行（列）的k倍加至另一行（列）。

称为矩阵的初等行（列）变换，统称初等变换。矩阵经初等行变换后秩不变。

初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。用初等矩阵P左（右）乘矩阵A，其结果PA（AP）就是对矩阵A作一次相应的初等行（列）变换。初等矩阵均可逆，且其逆矩阵是同类型的初等矩阵，即

等价：矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记作。矩阵等价的充分必要条件是，存在可逆矩阵P与Q，使。

四、特殊矩阵

转置矩阵：矩阵A的行换成同序数的列得到的一个新矩阵，记作

伴随矩阵：矩阵A的每个元素被其代数余子式所取代而构成的矩阵，记作。

对于二阶矩阵，主对角线元素互换，副对角线元素变号即可求出伴随矩阵。

可逆矩阵：存在n阶矩阵B（单位矩阵），则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵，B是A的逆矩阵。

若n阶矩阵A可逆，则

• 
• 
• A的列（行）向量组线性无关
• 是初等矩阵
• A与单位矩阵等价
• 0不是矩阵A的特征值

对称矩阵：满足

反对称矩阵：满足

正交矩阵：满足

对角矩阵

分块矩阵

五、计算逆矩阵

六、秩

秩r(A)=A的列秩=A的行秩