随机网络构建

随机网络构建

1 随机网络定义

随机网络与规则网络相对应，最为经典的随机网络模型是Erdös和Rényi研究的ER随机图模型，ER随机图模型有两种定义方式：

• 方式一：给定节点数$N$，固定连边数$M$。每次随机选择一对节点并连边，重复$M$次。每次选择两个不同节点并且没有连接的节点对，记作$G(N,M)$。算法如下：

首先给定$N$个节点和$M$条待连接边

• 随机选取一对没有边相连的不同节点，并在这对节点添加一条连边
• 重复上述步骤$M$次

• 方式二：给定$N$个节点，任意两个不同节点之间有一条连边概率固定为$p$，记作$G(N,p)$，算法如下

初始化$N$个节点和固定概率$p$，

• 选择一对没有边相连的节点对
• 生成一个随机数$r\in [0,1]$
• 若r
• 重复上述步骤直至所有节点都被考虑一次。

特殊地，当$p=0$，则形成$N$个孤立的节点；$p=1$，则形成$N$阶全局耦合网络，对于无向网络，连边数为$N(N-1)/2$；当$p\in (0,1)$，连边数取值位于区间$(0,N(N-1)/2)$

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2 网络拓扑性质

2.1 边数分布

给定随机网络$G(N,p)$，该网络刚好有$M$条边的概率：
$$P(M)=C_{C_N^2}^M{p}^M(1-p{)}^{C_N^2-M}$$
$C_N^2$表示随即网络理论最大边数，刚好有$M$条连边的概率满足二项分布。根据二项分布性质，随机变量$M$的期望
$$E(M)=\sum _{M=0}^{C_N^2}MP(M)=pN(N-1)/2$$
上述结果是显然的，因为一对节点存在连边概率为$p$,理论上存在$N(N-1)/2$条连边，因此理论上仅存在$E(M)$条连边。根据二项分布的二阶矩公式，不难得到随机变量$M$方差为
$$D(M)=p(1-p)\frac{N(N-1)}{2}$$

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2.2 度分布

任意节点与其他$k$个节点相连接的概率为$p^k(1-p{)}^{N-1-k}$，这里$p$为连接概率，与$k$个节点连接，但与其他$N-1-k$(除去自身)个节点不相连。选择方式共有$C_{N-1}^k$种，则
$$P(k)=C_{N-1}^k{p}^k(1-p{)}^{N-1-k}$$
根据二项分布期望公式得到
$$E(k)=p(N-1),D(k)=p(1-p)(N-1)$$

3 代码实现

下面使用R语言实现随机网络构建。可以快速使用igraph包，调用函数erdos.renyi.game即可。

library(igraph)
# ER网络构造
g.er <- erdos.renyi.game(10, 0.5)
ecount(g.er)
0.5*10*9/2
plot(g.er)

也可以自己构建随机网络函数，参照第二种定义方式$G(N,p)$的算法

ER <- function(N, p) {
  if (class(N) != "numeric") stop("节点数必须是整数")
  # N：节点个数
  # p: 连接概率
  library(igraph)
  M <- matrix(0, nrow = N, ncol = N)
  W <- matrix(0, nrow = N, ncol = N)
  for (i in 1:(N-1)) {
    for (j in (i+1):N) {
      if (j != i) {
        if (runif(1) < p) W[i, j] <- 1
      }
    }
  }
  g <- graph_from_adjacency_matrix(W, mode = "upper")
  list(matrix = W, Graph = g)
}

M <- 50
p <- 0.1
g <- ER(N = M, p=p)
plot(g$Graph,layout = layout.circle)
# 实际值变数
ecount(g$Graph)
# 理论值变数
p * M * (M - 1) / 2

上面的随机网络是无向的，根据第二种定义也可以扩充为有向随机网络

ER <- function(n, probability,type = "undirected") {
  # N：节点个数
  # p: 连接概率
  # type网络类型
  if (class(n) != "numeric") stop("节点数必须是整数")
  if (probability < 0 | probability > 1) stop("连接概率取值为0-1")
    
  library(igraph)
  M <- matrix(0, nrow = n, ncol = n)
  W <- matrix(0, nrow = n, ncol = n)
  switch (type,
          "undirected" = {
            for (i in 1:(n-1)) {
              for (j in (i+1):n) {
                if (j != i) {
                  if (runif(1) < probability) W[i, j] <- 1
                }
              }
            }
            g <- graph_from_adjacency_matrix(W, mode = "upper")
          },
          "directed" = {
            for (i in 1:n) {
              for (j in 1:n) {
                if (j != i) {
                  if (runif(1) < probability) W[i, j] <- 1
                }
              }
            }
            g <- graph_from_adjacency_matrix(W, mode = "directed")
          }
  )
  list(matrix = W, Graph = g)
}

M <- 50
p <- 0.2
number_edges =numeric()
number_sampling = 1000
for(i in 1:number_sampling){
  g <- ER(n = M, probability=p,type = "undirected")
  number_edges[i] <-  ecount(g$Graph)
}
plot(1:number_sampling,number_edges,type = "l",xlab = "number_sampling",ylab = "number_edges")
lines(1:number_sampling, rep(p * M * (M - 1)/2,number_sampling),col = "blue",lwd = "2")
lines(1:number_sampling, rep(mean(number_edges),number_sampling),col = "red",lwd = "2")
grid(col = "black")
legend("top",legend = c("抽样个体连边","抽样平均连边","理论平均连边"),
       col = c("black","blue","red"),lwd = c(1,2,2),
       bty  = "n", ncol = 3,cex = 1,text.width = 150)

var(number_edges)
p*(1-p)*M*(M-1)/2

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-END-

参考书籍：汪小帆等，网络科学导论[M]. 北京: 高等教育出版社, 2012.