算法练习 DAY24 || 回溯基础 77、组合 77.组合优化

回溯基础

回溯法模板

回溯算法中函数返回值一般为void。

再来看一下参数，因为回溯算法需要的参数可不像二叉树递归的时候那么容易一次性确定下来，所以一般是先写逻辑，然后需要什么参数，就填什么参数。
回溯函数终止条件
什么时候达到了终止条件，树中就可以看出，一般来说搜到叶子节点了，也就找到了满足条件的一条答案，把这个答案存放起来，并结束本层递归。
回溯搜索的遍历过程
在上面我们提到了，回溯法一般是在集合中递归搜索，集合的大小构成了树的宽度，递归的深度构成的树的深度。
回溯函数遍历过程伪代码如下：

for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
    处理节点;
    backtracking(路径，选择列表); // 递归
    回溯，撤销处理结果
}

for循环就是遍历集合区间，可以理解一个节点有多少个孩子，这个for循环就执行多少次。

backtracking这里自己调用自己，实现递归。

大家可以从图中看出for循环可以理解是横向遍历，backtracking（递归）就是纵向遍历，这样就把这棵树全遍历完了，一般来说，搜索叶子节点就是找的其中一个结果了。

分析完过程，回溯算法模板框架如下：

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

77、组合

给定两个整数 n 和 k，返回 1 … n 中所有可能的 k 个数的组合。

示例:
输入: n = 4, k = 2
输出:
[
[2,4],
[3,4],
[2,3],
[1,2],
[1,3],
[1,4],
]

思路：
直接的解法当然是使用for循环，例如示例中k为2，很容易想到 用两个for循环，这样就可以输出 和示例中一样的结果。

代码如下：

int n = 4;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
        cout << i << " " << j << endl;
    }
}

输入：n = 100, k = 3 那么就三层for循环，代码如下：

int n = 100;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
        for (int u = j + 1; u <= n; n++) {
            cout << i << " " << j << " " << u << endl;
        }
    }
}

如果n为100，k为50，那就50层for循环，
这就很恐怖了

回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构（N叉树），用树形结构来理解回溯就容易多了。
图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度。
！！！这句话相当精妙，理解了这个这道题就一目了然了。如果感觉不是很理解可以去debug一下

class Solution {
public:
	vector<vector<int>> result; //存放最后结果
	vector<int> path;//存放符合条件的集合

	/*
	暴力的想法就是for循环 k是几就有几层循环
	但是这种做法明显当k的数开始大的时候非常难以实现
	例子里面，先选取1，然后分别给2 3 4  然后再给2 然后给3 4
	所以需要一个startIndex来指向开始的下标
	*/
	void backtracking(int n,int k,int startIndex) {
		//终止条件
		if (path.size() == k) {
			result.push_back(path);
			return;
		}

		for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
			path.push_back(i);  // 处理节点 
			backtracking(n, k, i + 1);  // 递归
			path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
		} 
	}
	vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
		result.clear();
		path.clear();
		backtracking(n, k, 1);
		return result;
	}
};

77.组合优化

来举一个例子，n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了。 在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。
图中每一个节点（图中为矩形），就代表本层的一个for循环，那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话，都没有意义，都是无效遍历。

所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。

如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。

接下来看一下优化过程如下：

已经选择的元素个数：path.size();

所需需要的元素个数为: k - path.size();

列表中剩余元素（n-i） >= 所需需要的元素个数（k - path.size()）

在集合n中至多要从该起始位置 : i <= n - (k - path.size()) + 1，开始遍历

为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。

举个例子，n = 4，k = 3， 目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。

从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。

这里大家想不懂的话，建议也举一个例子，就知道是不是要+1了。

所以优化之后的for循环是：

for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) // i为本次搜索的起始位置