Educational Codeforces Round 132 div.2 A-F题解
视频讲解：TBD
A. Three Doors
题目大意
有 3 3 3 个门和 3 3 3 把对应的钥匙。其中 2 2 2 把钥匙分别在 2 2 2 扇门后， 1 1 1 把在手上。打开门才能获得门后的钥匙，问能否打开所有的门。
题解
判断前两次开的门后，是否有钥匙即可。
参考代码
#includeB. Also Try Minecraft
题目大意
有长为 n n n 列的世界，第 i i i 列高 a i a_i ai 。每一步可以向左或向右移动一格，若移动到更低处，则会受到高度差的伤害。
q q q 次询问，每次询问求从低 s s s 列移动第 j j j 列会受到多少伤害。
题解
预处理受到伤害的前缀和与后缀和，每次询问时求差即可得到答案。
p r e i = p r e i − 1 + m a x ( 0 , a i − 1 − a i ) pre_i=pre_{i-1}+max(0,a_{i-1}-a_i) prei=prei−1+max(0,ai−1−ai)
s u f i = s u f i + 1 + m a x ( 0 , a i + 1 − a i ) suf_i=suf_{i+1}+max(0,a_{i+1}-a_i) sufi=sufi+1+max(0,ai+1−ai)
a n s = { p r e t − p r e s t ≥ s s u f t − s u f s t < s ans=\begin{cases} pre_t-pre_s &t\geq s \\ suf_t-suf_s &tans={pret−pressuft−sufst≥st<s
注意开long long。
参考代码
#includeC. Recover an RBS
题目大意
给定带未知符’?'的括号序列，每个"?“表示为”(“或”)"，求是否存在唯一方案得到合法的括号序列
题解
从左到右遍历，维护以下两个初始为 0 0 0 的变量：
- dep：括号序列的深度。遇到"(" 则 + 1 +1 +1 ，遇到")" 则 − 1 -1 −1 。
- now：未确定的"?" 数量。
遍历时，存在以下两个特殊情况：
- 若 d e p < 0 dep<0 dep<0 ，则之前必定有个未确定的"?“需要为”("，即 d e p + + , n o w − − dep++,now-- dep++,now−− 。
- 若 d e p = 0 , n o w = 1 dep=0,now=1 dep=0,now=1 ，则之前唯一的未确定的"?“必须为”("，即 d e p + + , n o w − − dep++,now-- dep++,now−− 。
最终判断 ∣ d e p ∣ = n o w |dep|=now ∣dep∣=now 是否成立即可。
参考代码
#includeD. Rorororobot
题目大意
给定 n ( 1 ≤ n ≤ 1 0 9 ) n(1 \leq n \leq 10^9) n(1≤n≤109) 行 m ( 1 ≤ m ≤ 2 ⋅ 1 0 5 ) m(1 \leq m \leq 2 \cdot 10^5) m(1≤m≤2⋅105) 列的网格图，第 i i i 行的第 1 , 2 , 3 , . . . , a i 1,2,3,...,a_i 1,2,3,...,ai 格为障碍物。
有 q ( 1 ≤ q ≤ 2 ⋅ 1 0 5 ) q(1 \leq q \leq 2\cdot 10^5) q(1≤q≤2⋅105) 次询问，每次询问给定起点坐标 ( x s , y s ) (x_s,y_s) (xs,ys) ，终点坐标 ( x t , y t ) (x_t,y_t) (xt,yt) 和正整数 k ( 1 ≤ k ≤ 1 0 9 ) k(1 \leq k \leq 10^9) k(1≤k≤109) 。
从起点开始，每步可以向任意方向移动 k k k 格，途中不能碰到障碍物或走出网格，问能否从起点走到终点。
题解
由于移动是可反悔的，且障碍物均在下方。因此可以先把起点和终点不断移动到上面，再判断能否从起点走到终点。
x s + = ⌊ n − x s k ⌋ ∗ k x_s+=\lfloor \frac{n-x_s}{k} \rfloor*k xs+=⌊kn−xs⌋∗k
x t + = ⌊ n − x t k ⌋ ∗ k x_t+=\lfloor \frac{n-x_t}{k} \rfloor*k xt+=⌊kn−xt⌋∗k
当起点和终点均向上移动后，若存在合法方案，则必须满足：
- x坐标相同，即 x s = x t x_s=x_t xs=xt
- y坐标差为 k k k 的倍数，即 ( y s − y t ) % k = 0 (y_s-y_t)\%k=0 (ys−yt)%k=0
- 期间不存在障碍物，即 max { a y s , a y s + 1 , . . . , a y t } < x s \max\{a_{y_s},a_{y_s+1},...,a_{y_t}\}
max{ays,ays+1,...,ayt}<xs ，可以用ST表快速求解。注意可能 y t < y s y_tyt<ys ，需要交换左右端点。
参考代码
#includeE. XOR Tree
题目大意
给定 n ( 1 ≤ n ≤ 2 ⋅ 1 0 5 ) n(1 \leq n \leq 2 \cdot 10^5) n(1≤n≤2⋅105) 个点的树，节点 i i i 具有权值 a i ( 1 ≤ a i < 2 30 ) a_i(1 \leq a_i < 2^{30}) ai(1≤ai<230) 。
定义简单路径的权值为路径上的节点权值的异或和。
每次可以将一个节点修改为任意正整数，求最少需要修改多少次，使得树上不存在权值为 0 0 0 的简单路径。
题解
由于被修改后的权值可以很大，因此假设节点 i i i 的权值修改为 2 i + 30 2^{i+30} 2i+30 ，则任何经过节点 i i i 的路径权值均不可能为 0 0 0 。
考虑DFS逐个处理每个子树内经过子树根节点 x x x 的简单路径。
设集合 S x S_x Sx 表示 x x x 为根的子树内的每个节点到 x x x 的简单路径权值构成的集合，则有转移式
S x = ⋃ s ∈ S o n x S s ⊕ a x S_x=\bigcup_{s\in Son_x}S_s\oplus a_x Sx=s∈Sonx⋃Ss⊕ax
以上操作，可以用dsu on tree实现，注意由于存在交换大小集合的操作时，需要添加偏移量 l a z laz laz。
枚举 x x x 的子节点 s s s 时，经过节点 x x x ，一端在 s s s 为根的子树内，即 u ∈ T s u\in T_s u∈Ts ，另一端为 x x x 为根的的子树中之前已遍历过的节点之一，即 v ∈ T x v i s t e d v\in T_x^{visted} v∈Txvisted，则其权值构成的集合为
{ V a l u ⊕ V a l v ∣ V a l u ∈ S s , V a l v ∈ S x v i s t e d } \{Val_u\oplus Val_v | Val_u\in S_s,Val_v\in S_x^{visted}\} {Valu⊕Valv∣Valu∈Ss,Valv∈Sxvisted}
以上操作，可以通过枚举小集合中的每个元素，用set快速查找大集合中是否存在相同的元素，记得判断是否存在权值为 0 0 0 的简单路径。
若存在权值为 0 0 0 ，且经过节点 x x x 且两端均在 x x x 的子树内的简单路径，则将 a x a_x ax 修改为 2 i + 30 2^{i+30} 2i+30 ，即可排除所有这样的简单路径。
且所有一端在 x x x 的子树中，另一端在 x x x 的子树外的简单路径均可同时被排除，因此清空 S x S_x Sx ，答案 + 1 +1 +1 即可。。
参考代码
#includeF. Multiset of Strings
TBD
题目大意
题解
参考代码