第29课相似矩阵和若尔当形

何谓相似？

两个矩阵相似意味着什么？

正定从何而来？

正定阵来自最小二乘法，大量的物理问题需要用长方形矩阵描述，最小二乘法的关键在于矩阵，希望证明是一个正定阵。

假设是正定的，意味差是对称阵，即为对称正定阵。逆矩阵的特征值等于阵特征值的倒数，逆矩阵也是正定的，因为特征值全为正数，所以倒数也为正数

和都是正定的可得，也是正定的

证明最小二乘法为正定的：

如果零空间没有其它向量则，，矩阵各列线性无关，确保正定，如果可逆，最小二乘方程将存在最优解，所以为正定阵

和为相似阵，，存在某个可逆矩阵使得可以表示为

例：有无关的特征向量，也就是存在特征向量矩阵

按照新说活，相似于，矩阵的所有相似阵里面是最好的
$A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}; \Lambda=\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}\\ m=\begin{bmatrix}1&4\\0&1\end{bmatrix}; m^{-1}=\begin{bmatrix}1&-4\\0&1\end{bmatrix}\\ m^{-1}Am=\begin{bmatrix}1&-4\\0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&4\\0&1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1&-4\\0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2&9\\1&6\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-2&-15\\1&6\end{bmatrix}=B$

*** 与具有相同的特征值，因为相似 (重要性质)

，通过迹来验证，

例：证明相似阵特征值相同这一重要性质
$m=\begin{bmatrix}3&7\\0&1\end{bmatrix}; m^{-1}=\begin{bmatrix}1&7\\0&3\end{bmatrix}\\ Ax=\lambda x,A的特征值\lambda\\ B=m^{-1}Am,B的特征值？\\ Ax=\lambda x \to Amm^{-1}x=\lambda x \underbrace{\to}_{同时左乘m^{-1}}m^{-1}Amm^{-1}x= \lambda m^{-1}x\\ \to (m^{-1}Am)m^{-1}x=\lambda m^{-1}x \to Bm^{-1}x=\lambda m^{-1}x\\ \to Bx=\lambda x \to 表明\lambda是B的一个特征值，但特征向量并不相等$
的特征向量等于乘以矩阵的特征向量

对角阵的特征向量分别是，特征值不变，相似矩阵的特征值保持不变

相似矩阵特征向量可能不再线性无关，矩阵可能无法对角化(坏情况：，矩阵可能无法对角化)

除外，其余矩阵属于另一类，该阵只和自己相似，意味着只有一个特征向量，它将无法对角化，把1改为或，同样可以找到使它和原矩阵相似，为1时，是这类矩阵最好的一个，称为若尔当标准型，它是最简洁，最接近对角阵的一个
$\underbrace{ \left[ \begin{array}{ccc|c} 0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\\\hline 0&0&0&0 \end{array} \right] }_{A}\\ \lambda=0,0,0,0\\ 2个线性无关的特征向量\\ 零空间维数等于2(N(A)=2)\\ 若尔当分块3\times3,1\times1$

和相似。

注意对角线上方的1,每增加一个1特征向量就减少1个。

例：若尔当分块

若尔当分块：表示阶的若尔当块，每个方阵都相似于一个若尔当阵，就是由若尔当块构成的矩阵

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