微积分——让你窥见真实高维世界的孔洞

微积分学不好，是因为没有真正的好老师。作为老师，关心的是习题答案，考试成绩，并不关心学生是否理解事物的本质，是否准备把学到的知识真正应用起来。就像我们学概率统计、线性代数，学完了就丢在那里不管了，没用上。

很多让我们觉得不可理解的事情，比如为什么能够求得的精确值？这是因为我们在一个低一维的角度思考问题。这个积分式子，结果其实是球的体积，而球是直观均匀简单完全可以函数化的东西，它的体积就是，是精确的。觉得求积分不可理解，总觉得有误差，那是因为在将高维世界的简单的东西微分的时候，有一些信息丢掉了。一个当前维度（低一维）的式子，人们通过数学的形式找到它的高一维的精确形式，这就好比是一架爬到高维真实世界的梯子。这就像对数一样，我们通过微分与积分之间的映射对应关系，直接的找到当前函数的积分形式，而不用去纠结对当前结果累加的精度。

这看起来有问题，其实却非常实用，因为很可能我们的世界是一个更高维度的投影。就像一只在线上爬行的蚂蚁，你用手指不停挡住它的去路，一下子拿起来，一下子放下去，蚂蚁很难理解，为什么你的手指能突然跑到它的前面。但从你这个更高维度的世界来看，这是再简单不过的事情。

很有可能所有的轨道运动，都是真实世界的微分形式而已。我们觉得困难、误差，是因为没能理解更高维度的直观性。有时候我们觉得一个事情不直观，反直觉，那可能是因为我们的维度不对。 没能本质性的理解我们处理的问题在够高维度的直观形式。这样，我们就陷在数学的抽象与计算的泥潭里。

有时候甚至猜想那些伟大的物理学家、天文学家、数学家，是不是就是窥到了更加精彩直观的高维世界的幸运儿？我们人类习惯用图形、形状这种平面或立体的东西去思考问题，也会遇到一些无法形象化的东西，或者觉得数学抽象、繁琐、不明就里，但是不是因为我们没有在更高的维度上，直观的理解本来是很简单的东西？

关于维度，维度并不一定是空间的维度。像matlab这样的软件，用颜色表示第四维就是个好例子。这是对的。一个物体，除了空间的xyz属性，完全还可以有更多属性，例如梯度塔，在(x,y,z)这个点，还有风矢量、温度、湿度信息，可以把这些集合在一起（可能他们没什么直接联系，觉得这样有点生硬，但应该可以说这就是张量吧）？单纯的数学是抽象、枯燥、难以理解的，但对应到现实世界就很好理解。数学有它自己的逻辑自己的美，但它也是一种解释、推断现实世界的工具。

时间这个维度，和其他的维度不同，它的变化会导致空间维度的剧烈变化，因为空间和时间都是用光来定义的。所以，广义相对论应该是一个很好的例子，它说明物体的运动中，多个除了我们看得见的xyz空间维（即使空间维本身也是被物质所改变，只是绝对空间无法定义，仍然是由光的运动定义，而时间也由光的运动定义，或者周期波动定义，这就可以想象物体的运动是可以扭曲的），看不见、难以理解的维度通过数学展示了它的存在，世界并不完全是我们所看见、所感受到的那样。

从北京到纽约的飞机航线图，火星在天球上的轨迹，这都是很有意思的话题，直观看来难以理解的问题，如果你能明白背后的原理，会发现原来那么简单。再比如，飞机在天上沿着直线飞行，它的影子在多山的地表形成的轨迹线，却是非常复杂的曲线。