Leetcode| 343. 整数拆分、96. 不同的二叉搜索树 Day41

343. Integer Break

class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[2] = 1
        '''
        dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]
        将 i 拆分有 2 种方案：
        1. i - j 和 j  (i - j)不再拆分，乘积是 (i - j) * j
        2. i - j 和 j  (i - j)继续拆分，乘积是 dp[i - j] * j
        '''
        for i in range(3, n + 1):
            for j in range(1, i):
                dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j))

        return dp[n]

优化：
拆分一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的
m一定大于等于2，也就是 最差也应该是拆成两个相同的 可能是最大值
拆成大于等于三个时，每个子数一定小于等于n/2，所以j只需要遍历到n/2

class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[2] = 1

        for i in range(3, n + 1):
            for j in range(1, i//2 + 1):
                dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j))

        return dp[n]

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96. Unique Binary Search Trees

dp[i] ： 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]

递推公式：
dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量

class Solution:
    def numTrees(self, n: int) -> int:
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[0] = 1

        for i in range(1, n + 1):
            for j in range(1, i + 1):
                dp[i] += (dp[j - 1] * dp[i - j])

        return dp[n]