高中奥数 2022-02-17

2022-02-17-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题二 P096 习题16）

设,都是正整数.证明:

证明

用数学归纳法(对归纳)证明下述加强的命题:

当时,由条件,故,于是,故时,不等式成立.

设不等式在时成立,则对的情形,有
$\begin{aligned} &\dfrac{1}{\left[a_{0},a_{1}\right]}+\dfrac{1}{\left[a_{1},a_{2}\right]}+\cdots+\dfrac{1}{\left[a_{n},a_{n+1}\right]}\\ \leqslant &\dfrac{1}{\left[a_{0},a_{1}\right]}+\dfrac{1}{a_{1}}\left(1-\dfrac{1}{2^{n}}\right).\qquad(**) \end{aligned}$
如果,则式右边;如果,则由,可知式右边 $\leqslant \dfrac{a_{1}-a_{0}}{a_{0}a_{1}}+\dfrac{1}{a_{1}}\left(1-\dfrac{1}{2^{n}}\right)=\dfrac{1}{a_{0}}-\dfrac{1}{a_{1}\cdot 2^{n}}<\dfrac{1}{a_{0}}-\dfrac{1}{2a_{0}\cdot 2^{n}}=\dfrac{1}{a_{0}}\left(1-\dfrac{1}{2^{n+1}}\right)$ 所以,不等式对也成立.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题二 P096 习题17）

定义数列如下:,,且对任意,数是满足下述条件的最小正整数:

(1)对任意,;

(2)数中没有3个数成等差数列.

求的值.

解

设二进制表示下,,这里,,令(为一个3进制表示下的正整数),.

我们用数学归纳法证明:对任意的,均有.

当时,命题显然成立.设对任意的,均有.下面证明.

一方面,集合中无任意3个数成等差数列,这是因为对任意,若,由于在3进制表示下只出现数码0和2,所以、在3进制表示下相应的每个数码都需相同.从而,要求,矛盾.

上述讨论表明.

另一方面,若,则由归纳假设知,此时,在的三进制表示中,必出现数码2(因为仅出现数码0,1的3进制正整数).所以,存在、,使得满足:

(1)如果在的3进制表示中,某一位为0(或者1),则在,的3进制表示中,同样位置上的数码也为0(或者1);

(2)如果在的3进制表示中,某一位为2,则t在该位上为0,而在该位上为1.

于是,矛盾.所以.

综上所述,可知.鉴于,所以

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（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题二 P096 习题18）

正整数、、满足.

证明:在进制表示下,数的表示中至少出现个非零数码.

证明

在进制表示下予以讨论.

设能被整除的所有数中,其进制表示下出现的非零数字个数的最小值为,并在所有这些非零数字个数为的数中,取数码和最小的数.

设为的进制表示,这里

下面证明构成模的完系,从而.

一方面,设,若,这里.我们考察数

显然.若,则的非零数字的个数为,与的选择矛盾.故必有,设,,这时的进制表示为
$\begin{aligned} B=& b^{n n_{1}+r+1}+q b^{m_{1}+r}+a b_{1}^{n_{1}}+\cdots+a_{i-1} b^{n_{i-1}}+a_{i+1} b^{n_{i+1}} \\ &+\cdots+a_{j-1} b^{n_{j}-1}+a_{j+1} b^{n_{j+1}}+\cdots+a_{s} b^{n_{s}}. \end{aligned}$
这样,的数字和,与的选择亦矛盾.故模两两不同余.

另一方面,若,设,.考察数,

由于,故,但意味着.矛盾.

所以,命题成立.

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