数据结构与算法（树）

1.树的概念

树是一种抽象数据类型（ADT）或是实作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树“是因为它看起来像一颗倒挂的数，也就是说它的根朝上，而叶朝下。它具有以下的特点：

1. 每个节点有零个或多个子节点；
2. 没有父节点的节点称为根节点；
3. 每一个非根节点有且只有一个父节点；
4. 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；

比如：

Treedatastructure.png

2.树的术语

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
• 叶节点或终端节点：度为零的节点；
• 父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
• 子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
• 节点的层次：从根开始起，根为第一层，根的子节点为第二层，依次类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次；
• 堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟节点；
• 节点的祖先：从根到该节点所经过分支上的所有节点；
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙；
• 森林：有m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

3.树的种类

• 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树；
• 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；
  • 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
    • 完全二叉树：对于一个二叉树，假设其深度为d(d>1)。除了第d层外，其它各层的节点数目均已到达最大值，且第d层所有节点从左向右连续紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树，其中满二叉树的定义是所有节点都在最底层的完全二叉树；
    • 平衡二叉树（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树；
    • 排序二叉树（二叉查找树）：也称二叉搜索树，有序二叉树；
  • 霍夫曼树：用于信息编码，带权路径最短的二叉树称为霍夫曼树或最优二叉树；
  • B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多余两个子树。

4.树的存储与表示

顺序存储

将数据结构存储在固定的数组中，在遍历速度上有一定的优势，但因所占空间比较大，是非主流二叉树。二叉树通常以链式存储。

树的顺序存储.png

链式存储

树的链式存储.png

由于对节点的个数无法掌握，常见树的存储表示都转换成二叉树进行处理，子节点个数最多为2 。

5.常见的树的应用场景

1. xml，HTML等，编写这些东西的解析器的时候，用到树；
2. 路由协议就是使用了树的算法；
3. MySQL数据库索引
4. 文件系统的目录结构
5. AI算法中的树搜索。

参考：数据结构与算法Python语言描述