SG函数资料(入门必备)

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花了一天的时间学了点博弈,算是懂了一点点基础的知识吧,下面分享一点我的经验,仅供不懂博弈的菜鸟尽快入门,大牛请无视。

      首先来玩个游戏,引用杭电课件上的:

(1) 玩家: 2 人;
(2) 道具: 23 张扑克牌;
(3) 规则:
游戏双方轮流取牌;
每人每次仅限于取1 张、 2 张或 3 张牌;
扑克牌取光,则游戏结束;
最后取牌的一方为胜者。

      想一下。。

      首先申明一点,博弈的讨论是在大家都玩的最好的情况下讨论的。(如果2 个玩家智商有差别,那就没法讨论了~~~~开个玩笑哈。)

      介绍概念:P 点 即必败点,某玩家位于此点,只要对方无失误,则必败;

                        N点 即必胜点,某玩家位于此点,只要自己无失误,则必胜。

定理:

     一、 所有终结点都是必败点P (上游戏中,轮到谁拿牌,还剩 0 张牌的时候,此人就输了,因为无牌可取);

    二、所有一步能走到必败点P 的就是 N 点;

    三、通过一步操作只能到N 点的就是 P 点;

    自己画下图看看。

     x : 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 。。。

pos: P   N N  N  P N  N  N  P N   N  。。。

    所以若玩家甲位于N 点。只要每次把 P 点让给对方,则甲必胜;

   反之,若玩家甲位于P 点,他每次只能走到 N 点,而只要乙每次把 P 点让给甲,甲必败;

    这里好好理解下;

   如果上面的理解的。请解决下面的题目:HDU 1846   2147 (注意题目限制内存)(先 2 道练练手,做不出的话提示:找规律)

    接下来介绍Nim 游戏(同样引用杭电上的,懒的打字)

   1.有两个玩家;
   2.  有三堆扑克牌(比如:可以分别是     5 , 7 , 9 张);
  3. 游戏双方轮流操作;
  4. 玩家的每次操作是选择其中某一堆牌,然后从中取走任意张;
   5.最后一次取牌的一方为获胜方;

   想一会:

   还记得刚才说的P 点和 N 点吗? P :必败点, N :必胜点

   先给出结论,这里要用到位运算,异或:^

    游戏的某个位置(x1,x2,x3) x1,x2,x3 表示 3 堆的个数。当且仅当  x1^x2^x3=0 时,此点才是必败点 P ;

    结论可以推广到一般情况,即有n 堆, (x1,x2,x3,...xn)  当且仅当 x1^x2^x3...^xn=0 时,此点才是必败点 P ;

    如要看证明过程,链接在此     http://acm.hdu.edu.cn/forum/read.php?fid=9&tid=10617 ,看不懂的可以问 我(汗。。)

 练习:HDU 2188  2149    (做不出的话先看下面的,然后多思考)

   下面介绍sg 函数(解决博弈问题的王道)

   sg 即 Graph Game ,把博弈游戏抽象成有向无环图

(1) 有向无环图
(2) 玩家 1 先移动,起点是 x0
(3) 两个玩家轮流移动
(4) 对于顶点 x,  玩家能够移动到的顶点集记为 F(x).
(5) 不能移动的玩家会输掉游戏

首先定义mex(minimal excludant) 运算,这是施加于一个集合的运算,表示 最小的不属于这个集合的非负整数 。例如mex{0,1,2,4}=3 、  mex{2,3,5}=0 、 mex{}=0 。

定义:  一个图的 Sprague-Grundy 函数 (X,F) 是定义在 X 上的非负函数 g(x) ,并且满足:
       g(x) = mex{g(y) : y∈ F(x)}

看到这里先好好理解一下sg 值是怎么求的;

如果在取子游戏中每次只能取{1,2,3} ,那么各个数的 SG 值是多少?

x      0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14. . .
g(x) 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1  2   3   0   1   2. . .
看看这个和上面那个图的规律:

  P-点 :  即令  g(x) = 0  的  x  点!
 N-点 :  即令  g(x) > 0  的  x  点!

练习 HDU 1847  1849  1850  (做不出的话先看下面的,然后多思考)

最后看下组合博弈,就是把简单的游戏组合起来,比如3 堆的可以看成 3 个一堆的游戏。

 定理:

假设游戏 Gi 的 SG 函数是 gi, i=1,…,n,  则
G = G1 + … + Gn 的  SG 函数是
g(x1,…,xn) = g1(x1)⊕…⊕gn(xn).

其中那个符合就是异或^

看看是不是和Nim 游戏的结论差不多?

如果想理解原理链接在此: http://www.cnitblog.com/weiweibbs/articles/42735.html

看完以上的,做完以下的练习。能理解完基本差不多可以算入门了:

HDU 1848 1517 1536(做不出就思考,思考,多看几遍)

 

 

上一期的文章里我们仔细研究了Nim游戏,并且了解了找出必胜策略的方法。但如果把Nim的规则略加改变,你还能很快找出必胜策略吗?比如说:有n堆石子,每次可以从第1堆石子里取1颗、2颗或3颗,可以从第2堆石子里取奇数颗,可以从第3堆及以后石子里取任意颗……这时看上去问题复杂了很多,但相信你如果掌握了本节的内容,类似的千变万化的问题都是不成问题的。

现在我们来研究一个看上去似乎更为一般的游戏:给定一个有向无环图和一个起始顶点上的一枚棋子,两名选手交替的将这枚棋子沿有向边进行移动,无法移动者判负。事实上,这个游戏可以认为是所有Impartial Combinatorial Games的抽象模型。也就是说,任何一个ICG都可以通过把每个局面看成一个顶点,对每个局面和它的子局面连一条有向边来抽象成这个有向图游戏。下面我们就在有向无环图的顶点上定义Sprague-Garundy函数。

首先定义mex(minimal excludant)运算,这是施加于一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3mex{2,3,5}=0mex{}=0

对于一个给定的有向无环图,定义关于图的每个顶点的Sprague-Garundy函数g如下:g(x)=mex{ g(y) | yx的后继}

来看一下SG函数的性质。首先,所有的terminal position所对应的顶点,也就是没有出边的顶点,其SG值为0,因为它的后继集合是空集。然后对于一个g(x)=0的顶点x,它的所有后继y都满足g(y)!=0。对于一个g(x)!=0的顶点,必定存在一个后继y满足g(y)=0

以上这三句话表明,顶点x所代表的postionP-position当且仅当g(x)=0(跟P-positioin/N-position的定义的那三句话是完全对应的)。我们通过计算有向无环图的每个顶点的SG值,就可以对每种局面找到必胜策略了。但SG函数的用途远没有这样简单。如果将有向图游戏变复杂一点,比如说,有向图上并不是只有一枚棋子,而是有n枚棋子,每次可以任选一颗进行移动,这时,怎样找到必胜策略呢?

让我们再来考虑一下顶点的SG值的意义。当g(x)=k时,表明对于任意一个0<=i<k,都存在x的一个后继y满足g(y)=i。也就是说,当某枚棋子的SG值是k时,我们可以把它变成0、变成1……、变成k-1,但绝对不能保持k不变。不知道你能不能根据这个联想到Nim游戏,Nim游戏的规则就是:每次选择一堆数量为k的石子,可以把它变成0、变成1……、变成k-1,但绝对不能保持k不变。这表明,如果将n枚棋子所在的顶点的SG值看作n堆相应数量的石子,那么这个Nim游戏的每个必胜策略都对应于原来这n枚棋子的必胜策略!

对于n个棋子,设它们对应的顶点的SG值分别为(a1,a2,...,an),再设局面(a1,a2,...,an)时的Nim游戏的一种必胜策略是把ai变成k,那么原游戏的一种必胜策略就是把第i枚棋子移动到一个SG值为k的顶点。这听上去有点过于神奇——怎么绕了一圈又回到Nim游戏上了。

其实我们还是只要证明这种多棋子的有向图游戏的局面是P-position当且仅当所有棋子所在的位置的SG函数的异或为0。这个证明与上节的Bouton's Theorem几乎是完全相同的,只需要适当的改几个名词就行了。

刚才,我为了使问题看上去更容易一些,认为n枚棋子是在一个有向图上移动。但如果不是在一个有向图上,而是每个棋子在一个有向图上,每次可以任选一个棋子(也就是任选一个有向图)进行移动,这样也不会给结论带来任何变化。

所以我们可以定义有向图游戏的和(Sum of Graph Games):设G1G2……Gnn个有向图游戏,定义游戏GG1G2……Gn的和(Sum),游戏G的移动规则是:任选一个子游戏Gi并移动上面的棋子。Sprague-Grundy Theorem就是:g(G)=g(G1)^g(G2)^...^g(Gn)。也就是说,游戏的和的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。

再考虑在本文一开头的一句话:任何一个ICG都可以抽象成一个有向图游戏。所以“SG函数游戏的和的概念就不是局限于有向图游戏。我们给每个ICG的每个position定义SG值,也可以定义nICG的和。所以说当我们面对由n个游戏组合成的一个游戏时,只需对于每个游戏找出求它的每个局面的SG值的方法,就可以把这些SG值全部看成Nim的石子堆,然后依照找Nim的必胜策略的方法来找这个游戏的必胜策略了!

回到本文开头的问题。有n堆石子,每次可以从第1堆石子里取1颗、2颗或3颗,可以从第2堆石子里取奇数颗,可以从第3堆及以后石子里取任意颗……我们可以把它看作3个子游戏,第1个子游戏只有一堆石子,每次可以取123颗,很容易看出x颗石子的局面的SG值是x%4。第2个子游戏也是只有一堆石子,每次可以取奇数颗,经过简单的画图可以知道这个游戏有x颗石子时的SG值是x%2。第3个游戏有n-2堆石子,就是一个Nim游戏。对于原游戏的每个局面,把三个子游戏的SG值异或一下就得到了整个游戏的SG值,然后就可以根据这个SG值判断是否有必胜策略以及做出决策了。其实看作3个子游戏还是保守了些,干脆看作n个子游戏,其中第12个子游戏如上所述,第3个及以后的子游戏都是“1堆石子,每次取几颗都可以,称为任取石子游戏,这个超简单的游戏有x颗石子的SG值显然就是x。其实,n堆石子的Nim游戏本身不就是n任取石子游戏的和吗?

所以,对于我们来说,SG函数与游戏的和的概念不是让我们去组合、制造稀奇古怪的游戏,而是把遇到的看上去有些复杂的游戏试图分成若干个子游戏,对于每个比原游戏简化很多的子游戏找出它的SG函数,然后全部异或起来就得到了原游戏的SG函数,就可以解决原游戏了。这种分而治之的思想在下一节介绍的翻硬币游戏中将被应用得淋漓尽致。还是敬请期待。

 以上内容转载自某大牛。

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