求乘法逆元

由于在计算除法时，mod 运算不能直接加在除数被除数后，因此需要将 n / a （mod b ）转化为 n * x （mod b ），以便于进行模运算。求 x 的过程就称为求逆元。

对于 a 、b （a 与 b 互素）满足 n / a ≡ n * x （mod b ），则称 x 为 a 模 b 的逆元；

 

一般有两种求逆元的方式：扩展欧几里得求逆元和欧拉-费马定理求逆元；

 

1、扩展欧几里得求逆元：

见（欧几里得与扩展欧几里得）；

http://www.cnblogs.com/cenariusxz/p/4323872.html

 

2、欧拉-费马定理求逆元（通过快速幂实现）：

根据欧拉函数 φ（x） 表示小于自变量 x 并与 x 互素的自然数的个数；

根据欧拉定理（基本是用剩余系累加推出来的）

 a 与 x 互素时：

a ^φ（x）≡ 1 （mod x）

即 a * a ^φ（x）-1≡ 1 （mod x）

所以 ：

　　a ^φ（x）-1 即为 a 模 x 的逆元；

 

而费马小定理求的则是欧拉函数的特殊情况：

当 x 为素数时，φ（x）= x - 1 ；

因此当 a 与 x 互素且 x 为素数时：

　　a ^{x - 2} 即为 a 模 x 的逆元；