斐波那契数例题

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1.斐波那契数（递归实现和非递归实现）

1.1递归的实现

题目描述:

计算斐波那契数递归实现求第n个斐波那契数
例如：
输入：5 输出：5
输入：10， 输出：55
输入：2， 输出：1

解题思路：斐波那契数是前两项加起来等于后一项：1，1，2，3，5，8，13…,所以我们可以以n<=2为限制条件，当n=1或2时，返回1，然后到n=3项时就是n=1项和n=2项之和，然后依次往后推，即Fib(n)就是Fib(n-1)和Fib(n-2)之和。

Fib(n)
Fib(n-1) + Fib(n-2)
Fib(n-2)+Fib(n-3) , Fib(n-3)+Fib(n-4)
…
一直递推下去，直至到Fib(1)和Fib(2)返回值为1，然后回归，得到第n个斐波那契数

代码实现：

1.2非递归的实现

题目描述:

计算斐波那契数递归实现求第n个斐波那契数
例如：
输入：5 输出：5
输入：10， 输出：55
输入：2， 输出：1

解题思路：也可以参考上面递归实现的思路，我们可以用三个变量相互替换来解决，n1为第一项，n2为第二项，tmp为第三项，运用while()循环，每一次循环n就减1，直到n=2，最后输出tmp。

n=5
n1=1,n2=1 ,tmp=n1+n2=2
n1=n2=1,n2=tmp=2,tmp=n1+n2=3
…
依次类推直到n为2停下，即可得第n个斐波那契数

代码实现：

1.3斐波那契数的非递归的实现优于递归实现的原因

①.函数递归的原则是“大事化小”，对于很多问题的求解上是很遍历，而且非常迅速。但是他也是有缺点的，世界上没有完美的“事物”，函数递归也不例外。因为每一次函数递归（函数调用）都会在函数栈帧上开辟一块空间，所谓的压栈。这样会大大降低我们代码的执行效率。

②.这题用递归法实现的斐波那契数正对应了其缺点，因为它的递推时会有很多分支，一个分支下面又有很多分支，每一个小分支都是函数的调用，然而还有回归，函数栈帧需要销毁，这会大大降低代码的执行效率，如果n=50，则代码执行时间都要1个多小时，所以用递归法实现的斐波那系数其实是不实用的。

③.而用非递归的方法实现，可以大大提高代码的运行效率。只是每一次循环，n1,n2,tmp会被赋值，代码执行次数大大减少，所以斐波那契数的非递归的实现优于递归实现的。

2.经典问题之《青蛙跳台阶》

题目描述:

青蛙一次可以跳一个台阶，也可以跳两个台阶。求该青蛙跳n个台阶共有多少种跳法？
例如：
输入：5 输出：8

解题思路：青蛙跳台阶的思路是和斐波那契数的思路是完全等价的,只不过有了个主人公青蛙而已。因为青蛙跳1级台阶有一种走法，跳2级台阶有两种走法，而跳3级台阶有三种走法，所以跳3级台阶的走法是前面跳1级台阶和2级台阶之和，所以依次类推青蛙跳n个台阶的跳法等于跳n-1级台阶和n-2级台阶之和,所以问题就转变为求解第n个斐波那契数了。

walk(n)
walk(n-1) + walk(n-2)
walk(n-2)+walk(n-3) , walk(n-3)+walk(n-4)
…
一直递推下去，直至到walk(1)和walk(2)分别返回值为1和2，然后回归，得到青蛙跳n级台阶的跳法

代码实现：

3.经典问题之《汉诺塔问题》

题目描述:

总共有三个柱子，在一根柱子上，从下往上按照大小顺序摞着n片圆盘。我们需要按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在移动过程，小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。

解题思路：我们需要把圆盘看做一个个的整体，而且需要有大事化小的思想。假设我们有三根柱子：A,B,C（A:表示起始位置，B:表示中转站，C:表示目标位置）

1. 如果A柱有n=1个盘子，我们只要把它移动到C柱上就可以了。对应过程演示（1）。
2. 如果A柱有n=2个盘子，则需先把A柱上第一个盘子放到B柱上 -> 再把A柱上第二个盘子（这时n=1）放到C柱上。对应过程演示（2）。
3. 如果A柱有n=3个盘子，①.第一步：则需先把A柱上第一个盘子放到C柱上 -> 再把A柱上第二个盘子放到B柱上 -> 然后把C柱上的盘子放到B柱上面 -> 然后把A柱上第三个盘子（这时n=1）放到C柱上。②.第二步：再想办法把B柱上的圆盘移动到A柱上,先把B柱上第一个圆盘放到A柱上 -> 再把B柱上的圆盘放到C柱上 -> 最后再把A柱上的圆盘放到C柱上。对应过程演示（3）。
   …
   如果A柱有n个盘子，步骤是一样的，肯定是先想办法把A柱上n-1个圆盘移动到B柱上 -> 之后才能想办法把第n个圆盘从A柱放到C柱上面（即n=1的时候，递归的限制条件） -> 最后想办法把B柱上的圆盘移动到C柱上面。对应过程演示（4）。

这里递归的限制条件是n=1
并且一定要注意：我们在解决汉诺塔问题时，一定不能太过于深究里面圆盘移动的过程，因为比较复杂，很容易让人绕进去。所以我们这里不考虑上述中的“想办法”（即移动的过程）
我们只要懂其中的原理就可以把汉诺塔实现出来，运用大事化小的思想

代码演示：

过程演示：
（1）A柱上有1个圆盘：

（2）A柱上有2个圆盘：

（3）A柱上有3个圆盘：

（4）A柱上有n个圆盘：

总结

好了，本篇博客到这里就结束了，如果有更好的观点，请及时留言，我会认真观看并学习。
不积硅步，无以至千里；不积小流，无以成江海。