NEFU离散数学实验1-排列组合
相关概念
在离散数学中，组合数是一种用于计算从n个不同元素中选取m个元素的方式。以下是一些与组合数相关的概念：
排列：从n个不同元素中选取m个元素进行排列，排列数用P(n, m)表示，计算公式为P(n, m) = n! / (n - m)!
组合：从n个不同元素中选取m个元素进行组合，组合数用C(n, m)表示，计算公式为C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)
二项式系数：组合数也称为二项式系数，表示为C(n, m)。二项式系数可以用来展开二项式表达式的系数，如(a + b)^n的展开式中，每一项的系数就是C(n, m)。
杨辉三角形：杨辉三角形是一种图形化展示组合数的方式。在杨辉三角形中，每个数是它上方两个数之和，每一行的两端数都为1，其余数为上方两个数之和。杨辉三角形中的每个数就是组合数C(n, m)。
组合恒等式：组合恒等式是指一系列关于组合数的等式，如C(n, m) = C(n, n - m)，C(n, m) = C(n - 1, m - 1) + C(n - 1, m)等等。这些等式可以用于简化组合数的计算。
1. (程序题)
非降路径
在平面直角坐标系内，有(a,b)和(c,d)两点，且a,b,c,d都大于0，而且(c,d)点位于(a,b)点的右上方！
从(a,b)出发走到(c,d)点，只能向上走和向右走，请问共有多少种走法（非降路径数）？
输入：
输入a,b,c,d(0<=a,b,c,d<=12)
输出：
输出非降路径数！
例子输入:
0 0 2 2
例子输出：
6
#include
using namespace std;
int Count(int n,int m)
{
if(n==m||m==0)
return 1;
else
return Count(n-1,m)+Count(n-1,m-1);
}
int main()
{
int a,b,c,d,sum;
while(cin>>a>>b>>c>>d){
sum=Count(c-a+d-b,c-a);
cout< 直接用书上P199公式吧
本质是求组合数，数据非常友好，但是你直接阶乘会溢出的，所以我们求组合数要用递推式
2. (程序题)特殊的非降路径
设a,b,c,d,m,n是非负整数，其中 a<=c<=m,b<=d<=n;请你计算从(a,b)点经过(c,d)点到(m,n)点的非降路径数？
输入：
在一行内输入a,b,c,d,m,b,所有的数值范围为【0-14】，本题为单组数据。
输出：
在一行内输出非降路径数。
例子输入：
0 0 1 1 2 2
例子输出：
4
#include
using namespace std;
int Count(int n,int m)
{
if(n==m||m==0)
return 1;
else
return Count(n-1,m)+Count(n-1,m-1);
}
int main()
{
int a,b,c,d,m,n,result1,result2,sum;
cin>>a>>b>>c>>d>>m>>n;
result1=Count(c-a+d-b,c-a);
result2=Count(m-c+n-d,m-c);
sum=result1*result2;
cout< 在这道题目中，从(a,b)点到(c,d)点的非降路径数，就相当于从c-a+d-b个元素中选择c-a个元素的组合数，因为每一步只能向右或者向下走，所以总共需要走c-a+d-b步，其中有c-a步向右走。同理，从(c,d)点到(m,n)点的非降路径数，就相当于从m-c+n-d个元素中选择m-c个元素的组合数。所以，从(a,b)点经过(c,d)点到(m,n)点的非降路径数，就是这两个组合数的乘积。
3. (程序题)简单组合：
计算C(n,m)的值，C(n,m)代表从n个元素中选取m个元素的方法数，其中有1<= m <= n<= 65。
输入：
输入数据有多组，每组数据一行，有2个整数分别为n和m。
输出：
输出从总共n个元素中选出m个元素共有多少种方法?
例子输入：
2 2
4 2
例子输出：
1
6
一般解法
#include
using namespace std;
long long Count(long long n,long long m)
{
if(n==m||m==0)
return 1;
else
return Count(n-1,m)+Count(n-1,m-1);
}
int main()
{
long long n,m,result,sum;
while(cin>>n>>m)
{
sum=Count(n,m);
cout< 计算从n个元素中选取m个元素的组合数。它使用了递归的方法，利用了组合数的性质：
问题
上述代码中的
Count函数使用了递归方式计算组合数，对于大的输入值可能会导致栈溢出或运行时间较长。对于较大的组合数计算，推荐使用动态规划或组合数公式进行计算。
#include
using namespace std;
long long combination(int n, int m) {
long long dp[66][66] = {0};
for (int i = 0; i <= n; i++) {
dp[i][0] = 1;
dp[i][i] = 1;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j < i; j++) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - 1];
}
}
return dp[n][m];
}
int main() {
int n, m;
while (cin >> n >> m) {
long long result = combination(n, m);
cout << result << endl;
}
return 0;
}
dp是一个二维数组，用于保存计算过程中的中间结果。dp[i][j]表示从i个元素中选择j个元素的组合数。
4. (程序题)小兔的棋盘
小兔的叔叔从外面旅游回来给她带来了一个礼物，小兔高兴地跑回自己的房间，拆开一看是一个棋盘，小兔有所失望。不过没过几天发现了棋盘的好玩之处。从起点(0，0)走到终点(n,n)的最短路径数是C(2n,n),现在小兔又想如果不穿越对角线(但可接触对角线上的格点)，这样的路径数有多少?小兔想了很长时间都没想出来，现在想请你帮助小兔解决这个问题，对于你来说应该不难吧 ！
输入：
多组输入，每次输入一个数n(1<=n<=35)，当n等于－1时结束输入。
输出：
对于每个输入数据输出路径数，具体格式看Sample。
例子输入：
1
3
12
-1
例子输出：
1 1 2
2 3 10
3 12 416024
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
LL a[71][71],i,j,n;
int main() {
for(int i=0;i<=70;i++)
a[i][i]=a[i][0]=1;
for(i=2;i<=70;i++)
for(j=1;j<=70;j++)
a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j];
int t=0;
LL ans=0;
while(cin>>n&&n!=-1)
{
t++;
ans=a[2*n][n]*2;
ans=ans/(n+1);
cout< 