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【通信原理】第二章 确定信号分析——知识点归纳

一、信号

1. 能量/功率

实信号 复信号
瞬时功率 |s(t)|^{2} a(t)^{2}+b(t)^{2}=|z(t)|^{2}
总能量 \int_{-\infty}^{+\infty}|s(t)|^{2}dt \int_{-\infty}^{+\infty}|z(t)|^{2}dt
平均功率 \underset{T\rightarrow \infty }{lim}\frac{\int_{-T/2}^{+T/2}|s(t)|^{2}dt}{T} \underset{T\rightarrow \infty }{lim}\frac{\int_{-T/2}^{+T/2}|z(t)|^{2}dt}{T}

2. 特殊信号

正弦波信号   Acos(2\pi ft+\psi ) 功率  \frac{1}{2}A^{2}
矩形波信号  Arect\frac{t}{T} 能量 A^{2}T

二、傅氏变换

1. 公式

X(f)= \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}dt\rightarrow X(w)= \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-jwt}dt

x(t)= \int_{-\infty}^{+\infty}X(f)e^{j2\pi ft}df\rightarrow x(t)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}X(w)e^{jwt}dw

2. 常见变换对

1\Leftrightarrow2\pi\delta (w)
e^{-at}\Leftrightarrow \frac{1}{a+jw}
u(t)\Leftrightarrow \pi\delta (w)+\frac{1}{jw}
sgn(t)\Leftrightarrow \frac{2}{jw}
rect(\frac{t}{T})\Leftrightarrow Tsinc(tT)
sinc(\frac{t}{T})\Leftrightarrow Trect(tT)
tri(\frac{t}{T})\Leftrightarrow Tsinc^{2}(tT)

3. 运算性质

时移 x(t-t_{0})\Leftrightarrow X(f)e^{-jwt_{0}}
频移 X(w-w_{0})\Leftrightarrow x(t)e^{jw_{0}t}

共轭

 x^{*}(t)\Leftrightarrow X^{*}(-w)
标度换算 x(at)\Leftrightarrow \frac{1}{|a|}X(\frac{w}{a})
微分 \frac{dx(t)}{dt}\Leftrightarrow (jw)^{n}X(w)
积分 \int_{-\infty}^{t}x(z)dz\Leftrightarrow \frac{X(w)}{jw}+\pi\delta (w)X(0)
调制

x(t)cos(w_{0}t)\Leftrightarrow \frac{X(w+w_0)+X(w-w_0)}{2}

x(t)sin(w_{0}t)\Leftrightarrow j\frac{X(w+w_0)-X(w-w_0)}{2}
卷积

x(t)*y(t)\Leftrightarrow X(w)Y(w)

x(t)y(t)\Leftrightarrow \frac{1}{2\pi}X(w)*Y(w)
对偶

X(t)\Leftrightarrow 2 \pi x(-w)/x(-f)
x(-t)\Leftrightarrow X(-f)

4. 周期信号的傅里叶变换

f(t)=\sum F_{n}e^{jnw_{0}t}\Leftrightarrow F(w)=2\pi\sum F_{n}\delta(w-nw_{0})
f(t)=\sum F_{n}e^{jnw_{0}t}\Leftrightarrow F(f)=\sum F_{n}\delta(f-nf_{0})
F(f)=\frac{1}{T}\sum F_{1}(nf)\delta(f-f_{0})

三、运算

1. 内积

公式 <x,y>=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)y^{*}(t)dt
性质 时域内积 = 频域内积
内积为0→正交
内积与能量

信号能量是信号与其自身的内积

E_{x}=\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^{2}dt=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)x^{*}(t)dt

帕塞瓦尔：

\int_{-\infty}^{+\infty}|X(f)|^{2}df=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)X^{*}(f)df

互能量：

E_{xy}=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)y^{*}(t)dt

E_{yx}=\int_{-\infty}^{+\infty}y(t)x^{*}(t)dt

E_{xy}=E^{*}_{yx}

两个信号之和的能量=各自能量+互能量
许瓦兹不等式 |E_{xy}|\leq \sqrt{E_{x}E_{y}}
归一化系数

\rho _{xy}=\frac{E_{xy}} {\sqrt{E_{x} E_{y}}}

= -1：信号和能量

min=(\sqrt{E_{x}}-\sqrt{E_{y}})^{2}

= 1：信号和能量

max=(\sqrt{E_{x}}+\sqrt{E_{y}})^{2}

2. 卷积

x(t)*y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t-\tau)y(\tau)d\tau

四、确定信号的表示

1. 能量/功率

能量信号：能量有限 功率信号：功率有限

能量/

功

率

E=\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^{2}dt

=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(w)|^{2}dw

=\int_{-\infty}^{+\infty}|F(f)|^{2}df

P=\int_{-\infty}^{+\infty}\underset{T\rightarrow \infty}{lim}\frac{|f(t)|^{2}}{T}dt

=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\underset{T\rightarrow \infty}{lim}\frac{|F(w)|^{2}}{T}dw

=\int_{-\infty}^{+\infty}\underset{T\rightarrow \infty}{lim}\frac{|F(f)|^{2}}{T}df
互相关函数

R_{xy}(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t+\tau)y^{*}(t)dt

R_{yx}(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}y(t+\tau)x^{*}(t)dt

R_{xy}(\tau)=\overline{x(t+\tau)y^{*}(t)}=\underset{T\rightarrow \infty}{lim}\int_{-T/2}^{+T/2}\frac{x(t+\tau)y^{*}(t)}{T}dt

R_{yx}(\tau)=\overline{y(t+\tau)x^{*}(t)}=\underset{T\rightarrow \infty}{lim}\int_{-T/2}^{+T/2}\frac{y(t+\tau)x^{*}(t)}{T}dt
自相关函数 R_{x}(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t+\tau)x^{*}(t)dt R_{x}(\tau)=\overline{x(t+\tau)x^{*}(t)}=\underset{T\rightarrow \infty}{lim}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(t+\tau)x^{*}(t)}{T}dt
性质

|R_{x}(\tau)|\leq R_{x}(0)

E=R_{x}(0)

R_{x}(\tau)=R_{x}^{*}(-\tau)

R_{yx}(\tau)=R_{xy}^{*}(-\tau)

R(\tau)\Leftrightarrow E(w)

R_{12}(\tau)\Leftrightarrow E_{12}(w)

|R_{x}(\tau)|\leq R_{x}(0)

P=R_{x}(0)

R_{x}(\tau)=R_{x}^{*}(-\tau)

R_{yx}(\tau)=R_{xy}^{*}(-\tau)

R(\tau)\Leftrightarrow P(w)

R_{12}(\tau)\Leftrightarrow P_{12}(w)
双边谱密度

E(w)=|F(w)|^{2}

E(f)=|F(f)|^{2}

E_{12}(w)=X(w)Y^{*}(w)

P(w)=\underset{T\rightarrow \infty}{lim}\frac{|F(w)|^{2}}{T}

P(2\pi f)=\underset{T\rightarrow \infty}{lim}\frac{|F(2\pi f)|^{2}}{T}
单边谱密度 G(w)=\left\{\begin{matrix}2E(w),w>0 & \\ 0,w<0 & \end{matrix}\right. B(w)=\left\{\begin{matrix}2P(w),w>0 & \\ 0,w<0 & \end{matrix}\right.

2. 带宽

带宽 信号的带宽 信号能量或功率主要部分集中的频率范围
零点带宽 B1y(t)=kx(t-\tau)
3dB带宽 E(B2)=E(0)/2
等效矩形带宽 B3=\frac{\int_{-\infty}^{+\infty}E(f)df}{2E(0)}
占总能量/功率的百分比带宽 \frac{2\int_{0}^{B_{4}}E(f)df}{E}=90\%
信号 基带信号 信号能量或功率集中在零频率附近
频带信号 信号能量或功率集中在某一载频附近

3. 确定信号通过线性系统

能量/功率

E_{y}(f)=|H(f)|^{2}E_{x}(f)

P_{y}(f)=|H(f)|^{2}P_{x}(f)

R_{y}(\tau)=R_{h}(\tau)*R_{x}(\tau)

信号不失真

——理想系统

y(t)=kx(t-\tau)

h(t)=k\delta (t-\tau)

H(w)=ke^{-jwt}=ke^{j\varphi (w)}

幅频不变

相频线性

群时延特性（不同频率分量到达时间）

\tau(w)=-\frac{d\varphi (w)}{dw}=\tau
理想滤波器

LPF

H(w)=rect(\frac{w}{2W})e^{-jw\tau}

h(t)=2Wsinc(\frac{t-\tau}{2W})
BPF
系统带宽 定义：信号可以通过的频率范围
3dB带宽B：|H(f)|保持在其最大值的\frac{1}{\sqrt{2}}以内的频率区间

六、希尔伯特变换以及解析信号

1. 希尔伯特变换

概念

x(t)通过一个特定滤波器的输出
滤波器

h(t)=\frac{1}{\pi t}

H(w)=-jsgn(f)
性质

H[H[f(t)]]=-f(t)

\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)^{2}dt=\int_{-\infty}^{+\infty}\widehat{f(t)}^{2}dt

\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\widehat{f(t)}dt=0

f(t)为偶，\widehat{f(t)}为奇；f(t)为奇，\widehat{f(t)}为偶
常用变换对

cosw_{0}t\rightarrow sinw_{0}t

sinw_{0}t\rightarrow -cosw_{0}t

m(t)cosw_{0}t\rightarrow m(t)sinw_{0}t

m(t)sinw_{0}t\rightarrow -m(t)cosw_{0}t

m(t)为低通信号，w∈[-W，W]，且w

2. 解析信号

定义 z(t)=f(t)+j\widehat{f(t)}
f(t)=Re[z(t)=\frac{1}{2}[z(t)z^{*}(t)]
傅里叶变换/能量谱密度

Z(w)=\left\{\begin{matrix}2F(w),w>0 & \\ 0,w<0 & \end{matrix}\right.=2F(w)u(w)——判断准则
z(t)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}F(w)e^{jwt}dw
F[z^{*}(t)]=\left\{\begin{matrix}0,w>0 & \\ 2F(w),w<0 & \end{matrix}\right.
性质

解析信号z(t)的能量为其实信号的2倍

z_{1}(t)*z_{2}^{*}(t)=0

z^{*}_{1}(t)*z_{2}(t)=0
求法

已知实函数f(t)，求其解析信号

1）时域：f(t)\rightarrow \widehat{f(t)}\rightarrow z(t)=f(t)+j\widehat{f(t)}

2）频域：f(t)\rightarrow F(w)\rightarrow z(t)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}F(w)e^{jw_{0}t}dw

七、频带信号与带通信号

1. 信号

分类 频带信号：信号的频谱集中在某一频率附近
窄带信号：w_{c}<<W
频带信号表示方法

f_L(t)=f_{c}(t)+jf_{s}(t)

z(t)=f(t)+j\widehat{f(t)}

\Rightarrow f(t)=f_c(t)cosw_ct-f_s(t)sinw_c(t)

f_{L}(t)=a(t)e^{j\vartheta (t)}

\Rightarrow f(t)=a(t)cos(w_{c}t+\theta(t) )

f_{L}(t)=Re[z(t)]

\Rightarrow f(t)=Re[f_{L}(t)e^{-jw_{c}t}]
f_{L}(t)中包含了f(t)中除载波之外的所有信息——等效基带信号（复包络）

2. 系统

分类 带通系统：系统的通频带位于某一频率附近
窄带系统：w_{c}>>W

3. 频带信号通过带通系统

f(t) h(t) r(t) f(t)=Re[f_{L}(t)e^{jw_{c}t}]
| | | h(t)=Re[h_{L}(t)e^{jw_{c}t}]
f_{L}(t) h_{L}(t) r_{L}(t) r(t)=Re[r_{L}(t)e^{jw_{c}t}]

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  • 在Python中使用MYSQL pda158 mysqlpython
    缘由 　　近期在折腾一个小东西须要抓取网上的页面。然后进行解析。将结果放到 数据库中。 　　了解到 Python在这方面有优势，便选用之。 　　由于我有台 server上面安装有 mysql，自然使用之。在进行数据库的这个操作过程中遇到了不少问题，这里 记录一下，大家共勉。 　　 python中mysql的调用 　　 百度之后能够通过MySQLdb进行数据库操作。
  • 单例模式 hxl1988_0311 java单例设计模式单件
    package com.sosop.designpattern.singleton; /* * 单件模式：保证一个类必须只有一个实例，并提供全局的访问点 * * 所以单例模式必须有私有的构造器，没有私有构造器根本不用谈单件 * * 必须考虑到并发情况下创建了多个实例对象 * */ /** * 虽然有锁，但是只在第一次创建对象的时候加锁，并发时不会存在效率
  • 27种迹象显示你应该辞掉程序员的工作 vipshichg 工作
    1、你仍然在等待老板在2010年答应的要提拔你的暗示。 2、你的上级近10年没有开发过任何代码。 3、老板假装懂你说的这些技术，但实际上他完全不知道你在说什么。 4、你干完的项目6个月后才部署到现场服务器上。 5、时不时的，老板在检查你刚刚完成的工作时，要求按新想法重新开发。 6、而最终这个软件只有12个用户。 7、时间全浪费在办公室政治中，而不是用在开发好的软件上。 8、部署前5分钟才开始测试。
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