交叉熵损失的“替代品”：基于最优传输思想设计的分类损失函数EMO

©PaperWeekly 原创 · 作者 | 苏剑林

单位 | 月之暗面

研究方向 | NLP、神经网络

众所周知，分类任务的标准损失是交叉熵（Cross Entropy，等价于最大似然 MLE，即 Maximum Likelihood Estimation），它有着简单高效的特点，但在某些场景下也暴露出一些问题，如偏离评价指标、过度自信等，相应的改进工作也有很多，此前我们也介绍过一些，比如《再谈类别不平衡问题：调节权重与魔改Loss的对比联系》、《如何训练你的准确率？》、《缓解交叉熵过度自信的一个简明方案》[1] 等。

由于 LLM 的训练也可以理解为逐 token 的分类任务，默认损失也是交叉熵，因此这些改进工作在 LLM 流行的今天依然有一定的价值。

在这篇文章中，我们介绍一篇名为 EMO 的工作，它基于最优传输思想提出了新的改进损失函数，声称能大幅提高 LLM 的微调效果。其中细节如何？让我们一探究竟。

论文标题：

EMO: Earth Mover Distance Optimization for Auto-Regressive Language Modeling

论文地址：

https://arxiv.org/abs/2310.04691

概率散度

假设 是模型预测的第 个类别的概率，， 则是目标类别，那么交叉熵损失为

如果将标签 用one hot形式的分布 表示出来（即 ），那么它可以重写成

这个形式同时适用于非 one hot 的标签 （即软标签），它等价于优化 的 KL 散度：

当 给定时，最右端第一项就是一个常数，所以它跟交叉熵目标是等价的。

这个结果表明，我们在做 MLE，或者说以交叉熵为损失时，实则就是在最小化目标分布和预测分布的 KL 散度。由于 KL 散度的一般推广是 f 散度（参考《f-GAN简介：GAN模型的生产车间》），所以很自然想到换用其他 f 散度或许有改良作用。事实上，确实有不少工作是按照这个思路进行的，比如《缓解交叉熵过度自信的一个简明方案》[1] 介绍的方法，其论文的出发点是 “Total Variation 距离”，也是 f 散度的一种。

最优传输

不过，每种 f 散度或多或少有些问题，要说概率分布之间的理想度量，当属基于最优传输思想的“推土机距离（Earth Mover's Distance，EMD）”，不了解的读者可以参考一下笔者之前写的《从Wasserstein距离、对偶理论到WGAN》。

简单来说，推土机距离定义为两个分布之间的最优传输成本：

这里的 说的是 是任意以 为边缘分布的联合分布， 是实现给定的成本函数，代表“从 搬运到 的成本”， 是下确界，意思就是说将最低的运输成本作为 之间的差异度量。正如基于 f 散度的 Vanilla GAN 换成基于最优传输的 Wasserstein GAN 能够更好的收敛性质，我们期望如果将分类的损失函数换成两个分布的 W 距离，也能收敛到更好的结果。

当 是 one hot 分布时，目标分布就是一个点 ，那么就无所谓最不最优了，传输方案就只有一个，即把 的所有东西都搬到同一个点 ，所以此时就有

如果 是一般的软标签分布，那么 的计算是一个线性规划问题，求解起来比较复杂，由于 所定义的分布也属于 ，那么我们有

这是一个容易计算的上界，也可以作为优化目标，式（5）则对应 ，其中 是“克罗内克 函数” [2]。

成本函数

现在回到原论文所关心的场景——LLM 的微调，包括二次预训练和微调到下游任务等。正如本文开头所述，LLM 的训练可以理解为逐 token 的分类任务（类别即所有 token），每个标签是 one hot 的，所以适用于式（5）。

式（5）还差成本函数 还没定下来。如果简单地认为只要 ，那么成本都是 1，即 ，那么

这其实就是在最大化准确率的光滑近似（参考《函数光滑化杂谈：不可导函数的可导逼近》[4]）。但直觉上，所有 都给予同样程度的惩罚似乎过于简单了，理想情况下应该根据相似度来给每个不同的 设计不同的成本，即相似度越大，传输成本越低，那么我们可以将传输成本设计为

这里的 是事先获取到 Token Embedding，原论文是将预训练模型的 LM Head 作为 Token Embedding 的，并且根据最优传输的定义成本函数是要实现给定的，因此计算相似度的 Token Embedding 要在训练过程中固定不变。

有了成本函数后，我们就可以计算

这就是 EMO（Earth Mover Distance Optimization）最终的训练损失。由于 embedding_size 通常远小于 vocab_size，所以先算 能明显降低计算量。

实验效果

由于笔者对 LLM 的研究还处于预训练阶段，还未涉及到微调，所以暂时没有自己的实验结果，只能先跟大家一起看看原论文的实验。不得不说，原论文的实验结果还是比较惊艳的。

首先，是小模型上的继续预训练实验，相比交叉熵（MLE）的提升最多的有 10 个点，并且是全面 SOTA：

▲ 小模型上的继续预训练对比实验

值得一提的是，这里的评价指标是 MAUVE，越大越好，它提出自《MAUVE: Measuring the Gap Between Neural Text and Human Text using Divergence Frontiers》[3]，是跟人工评价最相关的自动评测指标之一。此外，对比方法的 TaiLr 我们曾在《缓解交叉熵过度自信的一个简明方案》[1] 简单介绍过。

可能有读者想 EMO 更好是不是单纯因为评价指标选得好？并不是，让人意外的是，EMO 训练的模型，甚至 PPL 都更好（PPL 跟 MLE 更相关）：

▲ 不同评价指标的对比

然后是将 LLAMA-7B/13B 微调到下游任务做 Few Shot 的效果，同样很出色：

▲ LLAMA-7B:13B微调到下游任务的效果

最后对比了不同模型规模和数据规模的效果，显示出 EMO 在不同模型和数据规模上都有不错的表现：

▲ 不同模型规模/数据规模上的效果

个人思考

总的来说，原论文的“成绩单”还是非常漂亮的，值得一试。唯一的疑虑可能是原论文的实验数据量其实都不算大，不清楚进一步增大数据量后是否会缩小 EMO 和 MLE 的差距。

就笔者看来，EMO 之所以能取得更好的结果，是因为它通过 Embedding 算相似度，来为“近义词”分配了更合理的损失，从而使得模型的学习更加合理。因为虽然形式上 LLM 也是分类任务，但它并不是一个简单的对与错问题，并不是说下一个预测的 token 跟标签 token 不一致，句子就不合理了，因此引入语义上的相似度来设计损失对 LLM 的训练是有帮助的。可以进一步猜测的是，vocab_size 越大、token 颗粒度越大的情况下，EMO 的效果应该越好，因为 vocab_size 大了“近义词”就可能越多。

当然，引入语义相似度也导致了 EMO 不适用于从零训练，因为它需要一个训练好的 LM Head 作为 Token Embedding。当然，一个可能的解决方案是考虑用其他方式，比如经典的 Word2Vec 来事先训练好 Token Embedding，但这可能会有一个风险，即经典方式训练的 Token Embedding 是否会降低 LLM 能力的天花板（毕竟存在不一致性）。

此外，即便 Token Embedding 没问题，从零预训练时单纯用 EMO 可能还存在收敛过慢的问题，这是因为根据笔者在《如何训练你的准确率？》的末尾提出的损失函数视角：

首先寻找评测指标的一个光滑近似，最好能表达成每个样本的期望形式，然后将错误方向的误差逐渐拉到无穷大（保证模型能更关注错误样本），但同时在正确方向保证与原始形式是一阶近似。也就是说，为了保证（从零训练的）收敛速度，错误方向的损失最好能拉到无穷大，而 EMO 显然不满足这一点，因此将 EMO 用于从零训练的时候，大概率是 EMO 与 MLE 的某个加权组合，才能平衡收敛速度和最终效果。

文章小结

本文介绍了交叉熵损失的一个新的“替代品”——基于最优传输思想的 EMO，与以往的小提升不同，EMO 在 LLM 的微调实验中取得了较为明显的提升。

参考文献

[1] https://kexue.fm/archives/9526

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_delta

[3] https://kexue.fm/archives/6620#正确率

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