文法化简（CFG Simplification）

原文 https://www.tutorialspoint.com/automata_theory/cfg_simplification.htm

在上下文无关文法（CFG）中，可能出现所有符号都不需要进行推导的情况。另外，文法中可能含有空产生式(null production)和单产生式(unit production)。消除这些产生式和符号，就叫 CFG化简 。化简本质上包含以下步骤：

• CFG规约
• 去除单产生式
• 去除空产生式

规约文法

文法用两个周期来规约

Phase 1 - 从文法 G 推导等价文法 G^' ， 每个变量导出一些终结符号。（从开始符号开始推导）

推导过程
Step 1 - 包含所有符号 W₁，并初始化 i=1 。
Step 2 - 包含可以导出 W_i 的所有符号 W_i+1 。
Step 3 - 重复 Step 2，直到 W_i+1 = W_i 。
Step 4 - 包含所有的含有 W_i 的产生式规则。

Phase 2 - 从文法 G' 推导等价文法 G''，对于每个出现在句法形式的符号。

推导过程
Step 1 - 包含所有符号 Y₁，并初始化 i=1 。
Step 2 - 包含可以从 Y_i 导出的所有符号 Y_i+1 ，并包含应用的所有产生式。
Step 3 - 增加 i ， 重复 Step 2 ，直到 **Y_i+1 = Y_i 。

问题

找到一个规约后的等价文法G，包含以下产生式： P:
小写是终结符号。

S -> AC | B
A -> a
C -> c | BC
E -> aA | e

解决

Phase 1

T = { a, c, e}
W₁ = { A, C, E} 从规则 A -> a，C -> c 和 E -> aA
W₂ = { A, C, E} U { S } 从规则 S -> AC
W₃ = { A, C, E, S } U ∅
因为 W₃ = W₂，所以我们导出
G’ = { { A, C, E, S }, { a, c, e }, P, {S}}
也就是

S → AC
A → a
C → c 
E → aA | e

Phase 2

Y₁ = { S }
Y₂ = { S, A, C } 从规则 S → AC
Y₃ = { S, A, C, a, c } 从规则 A → a and C → c
Y₄ = { S, A, C, a, c }
因为Y₃ = Y₄，所以我们推导出 G'' :
G” = { { A, C, S }, { a, c }, P, {S}}

S → AC
A → a
C → c

消除单产生式

任何产生式，具有 A -> B 的形式(A, B ∈ 非终结符) 就叫 单产生式 。

消除过程

Step 1 要消除 A -> B ，用 B -> x 的体添加到规则中 A -> x 。 [x ∈ 终结符， x 可以是 Null]
Step 2 从规则中删除 A -> B 。
Step 3 重复步骤1直到所有的单产生式都被消除。

问题

从以下规则消除单产生式：

S → XY
X → a
Y → Z | b
Z → M
M → N
N → a

解决

文法中有三个单产生式：

Y → Z
Z → M
M → N

我们首先消除 M -> N 。

因为 N -> a ，我们添加 M -> a， 并且移去 N -> a。

产生式变成了：

S → XY, X → a, Y → Z | b, Z → M, M → a, N → a

然后移去 Z -> M

因为 M -> a， 我们添加 Z -> a 并且移去 M -> a 。

现在变成了

S → XY, X → a, Y → Z | b, Z → a, M → a, N → a

现在我们移去 Y -> Z

因为 Z -> a， 我们添加 Y -> a 并且移去 Z -> a 。

现在变成

S → XY, X → a, Y → a | b, Z → a, M → a, N → a

现在 Z， M， N 不可到达， 所以我们去掉他。

最后产生式变成

S → XY
X → a
Y → a | b

消除空产生式

文法中含有 A → ε， 或者从 A开始最后到达ε， A->...->ε。

消除过程

Step 1 - 找到所有产生ε的非终结符。
Step 2 - 对于所有产生式 A -> α， 构建所有产生式 A -> β。β是从α去掉一个或者多个 A（步骤一中的）。
Step 3 - 将原产生式与Step 2的结果合并，并去除掉空产生式。

问题

从以下去除空产生式：

S → ASA | aB | b
A → B
B → b | ∈

解决

有两个nullable， A 和 B 。
我们首先消除 B -> ε

S -> ASA | aB | b | a
A -> B| b | ε
B -> b

现在消除 A -> ε

S→ASA | aB | b | a | SA | AS | S
A → B| b
B → b