代码随想录算法训练营第41天|343. 整数拆分，96.不同的二叉搜索树

343. 整数拆分

力扣题目链接

思路

动态规划

• dp[i] 表示拆分 i 的乘积最大值
• 递推公式：dp[i] = max(dp[i], max(j*(i-j), j*dp[i-j]));
• 初始化：dp[0] = 0; dp[1] = 0;
• 遍历顺序：从前往后

贪心

• 贪心，每次拆成n个3，如果剩下是4，则保留4，然后相乘

代码

动态规划

class Solution {
public:
    /*
     * dp[i] 表示拆分 i 的乘积最大值
     * 递推公式：dp[i] = max(dp[i], max(j*(i-j), j*dp[i-j]));
     * 初始化：dp[0] = 0; dp[1] = 0;
     * 遍历顺序：从前往后
    */
    int integerBreak(int n) {
        vector dp(n+1);
        dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i/2; j++){
                dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

• 时间复杂度O(n^2)
• 空间复杂度O(n)

贪心

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        if (n == 2) return 1;
        if (n == 3) return 2;
        if (n == 4) return 4;
        int result = 1;
        while(n > 4) {
            result *=3;
            n -= 3;
        }
        result *= n;
        return result;
    }
};

• 时间复杂度O(n)
• 空间复杂度O(1)

96.不同的二叉搜索树

力扣题目链接

思路

动态规划

• dp[i] 表示i个结点不同的二叉搜索树的种数
• 递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[j - i];
• dp[i] = 以1为头结点的二叉搜索树的个数 + … + 以i为头结点的二叉搜索树的个数
• 以i为头结点的二叉搜索树的个数 = 左子树的种数 + 右子树的种数
• 初始化 dp[0] = 1;
• 遍历顺序：从左往右

数学

• 卡特兰数：
  $$C_0=1,C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}{C}_n$$

代码

动态规划

class Solution {
public:
    /*
     * dp[i] 表示i个结点不同的二叉搜索树的种数
     * 递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[j - i];
     * dp[i] = 以1为头结点的二叉搜索树的个数 + ... + 以i为头结点的二叉搜索树的个数
     * 以i为头结点的二叉搜索树的个数 = 左子树的种数 + 右子树的种数
     * 初始化 dp[0] = 1;
     * 遍历顺序：从左往右
    */
    int numTrees(int n) {
        vector dp(n+1);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++){
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

• 时间复杂度O(n^2)
• 空间复杂度O(n)

数学

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        long long C = 1;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            C = C * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
        }
        return (int)C;
    }
};

• 时间复杂度O(n)
• 空间复杂度O(1)