代码随想录训练营第52天 | 300.最长递增子序列 ● 674. 最长连续递增序列 ● 718. 最长重复子数组

300.最长递增子序列 

题目链接：https://leetcode.com/problems/longest-increasing-subsequence

解法：

1. dp[i]的定义

dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度。

2. 状态转移方程

位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。

所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。

3. dp[i]的初始化

每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1. 所以都初始化为1.

这道题的写法上，为啥dp[-1] 不直接取为最大值呢？因为dp[i]是以nums[i]结尾的最长，而以最后一个元素结尾的子序列不一定长度最长。

边界条件：无

时间复杂度：O(nlogn)

空间复杂度：O(n)

class Solution(object):
    def lengthOfLIS(self, nums):
        if len(nums) == 1:
            return 1
        dp = [1] * len(nums)
        
        for i in range(1, len(nums)):
            for j in range(0, i):
                if nums[i] > nums[j]:
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
        # 注意dp[i]定义为以num[i]结尾的最长，那么处理结束后，
        # 不一定就是dp[-1]是最长，比如[1,2,3,4,2,1]
        return max(dp)

674. 最长连续递增序列 

题目链接：https://leetcode.com/problems/longest-increasing-subsequence

解法：

1. 确定dp的含义

dp[i]：以num下标i元素为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i]。

2. 确定递推公式

如果 nums[i] > nums[i - 1]，那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度 一定等于 以i - 1为结尾的连续递增的子序列长度 + 1 。

即：dp[i] = dp[i - 1] + 1;

注意这里就体现出和动态规划：300.最长递增子序列 (opens new window)的区别！

因为本题要求连续递增子序列，所以就只要比较nums[i]与nums[i - 1]，而不用去比较nums[j]与nums[i] （j是在0到i之间遍历）。

既然不用j了，那么也不用两层for循环，本题一层for循环就行，比较nums[i] 和 nums[i - 1]。

最后一定需要说明的是，返回值是max(dp)，而不是dp[-1]，因为以最后一个元素结尾的最长连续子序列不一定是最长的，可能以中间某个元素结尾的最长连续子序列才是最长的。

边界条件：无

时间复杂度：O(n)

空间复杂度：O(n)

class Solution(object):
    def findLengthOfLCIS(self, nums):
        dp = [1] * len(nums)
        for i in range(1, len(nums)):
            if nums[i] > nums[i-1]:
                dp[i] = dp[i-1] + 1
        # dp[i] 表示以num[i]结尾的最长子序列的长度
        # 所以dp[-1]不一定是最长的
        return max(dp)

718. 最长重复子数组

题目链接：https://leetcode.com/problems/maximum-length-of-repeated-subarray

解法：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。 （特别注意： “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 ）

2. 确定递推公式

根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1; 根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始！

3. dp数组如何初始化

根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的！

但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，因为 为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。

4. 结果的返回

dp[-1][-1] 不一定是最大值，所以在循环的过程中不断更新最大值。

边界条件：无

时间复杂度：O(nm)

空间复杂度：O(nm)

class Solution(object):
    def findLength(self, nums1, nums2):
        dp = [[0] * (len(nums2)+1) for _ in range(len(nums1)+1)]
        result = 0
        for i in range(1, len(nums1)+1):
            for j in range(1, len(nums2)+1):
                # dp[i][j]表示A以下标(i-1)的字符串结尾，
                # B以下标(j-1)结尾的，最长重复子串长度
                if nums1[i-1] == nums2[j-1]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1
                    result = max(result, dp[i][j])
        return result