C++求一个数的最大奇数约数

题目：

定义函数f(x)为x的最大奇数约数，x为正整数，例如f(44) = 11.

现在给出一个N,需要求出f(1) + f(2) + f(3) + … + f(N)

例如： N = 7

f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7) = 1 + 1 + 3 + 1 + 5 + 7 = 21.

分析：

奇数的最大约数是自身， 偶数的最大奇约数是除所有偶因子之后的那个奇数。所以直观的思路就是挨个遍历一遍加起来。

代码如下：

#include 
using namespace std;
int main(int argc, char **argv)
{
    long long N;
    long long sum = 0;
    long long temp;
    cin>>N;
    for (long long i = 1; i <= N; ++i)
    {
        temp = i;
        while(0 == temp%2)
            temp /= 2;
        sum += temp;
    }
    cout<return 0;
}
 
 
   
   
   
   

 
 
   
   
   
   

    
    
    
    
1
    
    
    
    
2
    
    
    
    
3
    
    
    
    
4
    
    
    
    
5
    
    
    
    
6
    
    
    
    
7
    
    
    
    
8
    
    
    
    
9
    
    
    
    
10
    
    
    
    
11
    
    
    
    
12
    
    
    
    
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然而， N的取值范围时10^10，所以O(n)的算法是超时的。

考虑优化，设sum(i) = f(1) + f(2) + … + f(i)；

求sum(i)的过程中，如果i 为奇数可以直接求，就是 i 本身，即f(i) = i。

问题就是求所有f(i), i为偶数的和。

因为是最大奇约数，所以f(2k) = f(k)，所以f(2) + f(4) + … + f(2k) = f(1) + f(2) + … + f(k);

所以

时间复杂度O(logn)，可以解决。

代码如下：

#include
using namespace std;
long long sum(long long n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    if (n % 2 == 0) {
        return  sum(n / 2) + n * n / 4;
    }
    else {
        return sum(n - 1) + n; 
    }
}
int main() {
    int N;
    cin >> N;
    cout << sum(N) << endl;
}
 
 
   
   
   
   

 
 
   
   
   
   

    
    
    
    
1
    
    
    
    
2
    
    
    
    
3
    
    
    
    
4
    
    
    
    
5
    
    
    
    
6
    
    
    
    
7
    
    
    
    
8
    
    
    
    
9
    
    
    
    
10
    
    
    
    
11
    
    
    
    
12
    
    
    
    
13
    
    
    
    
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另外

用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如:9的因数有1,3,9,，10的因数有1,2,5,10,那么