树的重心学习

知识：

定义：重心是指树中的一个结点，如果将这个点删除后，剩余各个连通块中点数的最大值最小，那么这个节点被称为树的重心。 （最大值的最小值）

树的重心的性质：

1.一个树最多只有1个或2个重心。如果有两个重心，它们必定相邻且在树的最长路径中间位置。

2.把两个树通过一条边相连得到一个新的树，那么新的树的重心在连接原来两个树的重心的路径上。

3.树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的；

4.把一个树添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离。

会议 - 洛谷

于是乎这个题就可以这样解决：

先把树的重心求出来， 算出所有其他结点到树的重心的距离之和。

树的重心的求法：

dfs遍历每一个点，求取每个点作为"重心“的最大子树的节点数，然后取最小的那个

作为重心。

具体看代码。

代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int n;
vector g[N];
bool vis[N];
int ans = 1 << 30;
int dis[N], res;
queue q;
int f[N];

int dfs(int u) { // 返回值为子树的结点数
    vis[u] = true;
    int sum = 1; // 记录子树
    int size = 0; // 存放子树中节点数最大

    for(int i = 0; i < g[u].size(); i ++ ) {
        int j = g[u][i];
        
        if(!vis[j]) {
            int s = dfs(j);
            sum += s;
            size = max(size, s); // 比较所有下子树最大节点数
        }
        
    }   
    ans = min(ans, max(size, n - sum)); // 和上子树比较求取最大子树结点数
    f[u] = max(size, n - sum); // f[u] 存放u结点最大子树结点数  
  
    return sum;
}

void bfs(int start) {
    q.push(start);
    vis[start] = true;
    
    while(!q.empty()) {
        auto t = q.front();
        q.pop();
        
        for(int i = 0; i < g[t].size(); i ++ ) {
            int j = g[t][i];
            if(!vis[j]) {
                vis[j] = true;
                dis[j] = dis[t] + 1;
                q.push(j);
            }
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n;
    
    for(int i = 1; i < n; i ++ ) {
        int a, b; cin >> a >> b;
        
        g[a].push_back(b);
        g[b].push_back(a);
    }
    
    dfs(1);
    
    memset(vis, false, sizeof vis);
    
    int st = N, start = 0;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) { //比较每个点最大子树结点数， 若有两个重心取编号小的
        if(st > f[i]) {
            st = f[i];
            start = i;
        }
        else if(st == f[i]) {
            if(i < start) start = i;
        }
    }
    
    bfs(start); //bfs求距离和
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        res += dis[i];
    }
    
    
    cout << start << ' ' << res << endl;
    return 0;
}