计算机算法的设计与分析——算法技术（递归，分治法，平衡，动态规划）

On the other hand

Once upon a time, in a futuristic city known as Cybertopia, there lived a brilliant scientist named Dr. Ethan. Dr. Ethan was renowned for his groundbreaking work in the field of computer algorithms. His ability to design and analyze algorithms propelled him to the forefront of technological advancement.

One day, Dr. Ethan embarked on an ambitious project to develop a revolutionary algorithmic technology that would push the boundaries of human capabilities. He called it the Ouroboros Algorithm, inspired by the ancient symbol of a serpent eating its own tail, representing infinity and continuous renewal.

The Ouroboros Algorithm was unlike anything the world had ever seen. It possessed the power of recursion, allowing it to break down complex problems into smaller, more manageable subproblems. This recursion would enable the algorithm to analyze and solve challenges beyond the limitations of human cognition.

As Dr. Ethan refined and tested the Ouroboros Algorithm, he discovered its remarkable ability to employ a technique known as divide and conquer. Just like a master strategist, the algorithm would divide complex tasks into smaller, more manageable parts, conquer each part separately, and then combine the solutions to produce an optimal outcome.

However, Dr. Ethan realized that for the Ouroboros Algorithm to reach its full potential, it needed balance. Drawing inspiration from the ancient philosophy of yin and yang, Dr. Ethan introduced the concept of balancing algorithms. He designed the algorithm to dynamically adapt to changing input, ensuring that it would always maintain equilibrium and efficiency in its computations.

With each iteration of the algorithm’s development, Dr. Ethan pushed the boundaries of what was possible in the realm of computer algorithms. He was determined to create an algorithmic masterpiece that could solve the most complex of problems.

Finally, after years of dedication and relentless pursuit of perfection, the Ouroboros Algorithm was complete. Dr. Ethan presented it to the world, and the impact was immediate and profound.

The Ouroboros Algorithm revolutionized industries and transformed society. Its recursive nature and ability to divide and conquer allowed it to solve previously unsolvable puzzles, accelerating scientific breakthroughs, and pushing the limits of human knowledge. The algorithm’s balancing capability ensured that it could adapt to any circumstance, making it an invaluable tool across various fields.

In the years that followed, the Ouroboros Algorithm became the backbone of Cybertopia’s technological advancements. From medical diagnosis to prediction of natural disasters, from optimizing transportation routes to creating personalized education plans, Ouroboros Algorithm became the go-to solution for complex problems.

As Dr. Ethan looked upon the sea of possibilities that the algorithm had unlocked, he couldn’t help but feel a sense of awe and wonder. The merging of science and imagination had given birth to a technological marvel that surpassed all expectations.

And so, the story of Dr. Ethan and the Ouroboros Algorithm would be etched into the annals of history, forever reminding humanity of the power of algorithmic design and analysis. It was a testament to human ingenuity and the endless possibilities that lie ahead in the realm of technology.

摘要

在算法设计中，我们常常需要考虑如何用最优的方法解决问题，并在实际应用中具有高效性和可扩展性。也可能是迭代的方式进行算法的优化和结果的不断逼近。

递归

递归是一种算法技术，它通过自身的重复应用来解决问题。在递归算法中，问题被分解为更小的子问题，并通过不断地调用自身来解决这些子问题。递归算法通常包含一个基本情况（即递归结束条件），以避免无限递归。递归在许多算法中被广泛使用，例如计算斐波那契数列、二叉树的遍历等。

斐波那契数列举例

public class Fibonacci {
    public static int fibonacci(int n) {
        if (n <= 1) {
            return n;
        } else {
            return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
        }
    }
   
    public static void main(String[] args) {
        int n = 6;
        System.out.println("斐波那契数列的第" + n + "个数字是：" + fibonacci(n));
    }
}

在上面的代码中，fibonacci 方法接受一个整数 n 作为参数，如果 n 小于等于 1，则直接返回 n。否则，它会通过递归调用 fibonacci 方法来计算第 n 个斐波那契数，即前两个斐波那契数的和，并返回结果。

当我们调用 fibonacci(6) 时，程序会递归地计算 fibonacci(5) 和 fibonacci(4)，然后再递归地计算 fibonacci(4) 和 fibonacci(3)，以此类推，直到达到递归结束条件。最后，我们会得到斐波那契数列的第六个数字，即 8。

递归算法能够简化问题的描述和解决思路，使得代码更加简洁、易读。然而，递归算法也存在一些潜在问题，例如递归的层级过深可能会导致栈溢出，以及重复计算等。因此，在设计递归算法时，我们需要合理设置递归结束条件，并确保算法的时间复杂度和空间复杂度可控。

分治法

分治法是一种将问题划分为更小的子问题，并通过解决这些子问题来解决原始问题的算法技术。在分治法中，问题被划分为多个规模相对较小但结构相似的子问题。子问题独立地解决后，它们的解被合并为原始问题的解。分治法通常使用递归来解决子问题，并利用合并策略来将子问题的解集成为原始问题的解。常见的分治法算法包括归并排序和快速排序。

归并排序举例

public class MergeSort {
    public void mergeSort(int[] arr, int left, int right) {
        if (left < right) {
            int mid = (left + right) / 2;

            mergeSort(arr, left, mid); // 递归地对左半部分排序
            mergeSort(arr, mid + 1, right); // 递归地对右半部分排序

            merge(arr, left, mid, right); // 合并左右两个有序子数组
        }
    }

    public void merge(int[] arr, int left, int mid, int right) {
        int n1 = mid - left + 1;
        int n2 = right - mid;

        int[] L = new int[n1];
        int[] R = new int[n2];

        for (int i = 0; i < n1; ++i) {
            L[i] = arr[left + i];
        }
        for (int j = 0; j < n2; ++j) {
            R[j] = arr[mid + 1 + j];
        }

        int i = 0, j = 0;
        int k = left;
        while (i < n1 && j < n2) {
            if (L[i] <= R[j]) {
                arr[k] = L[i];
                i++;
            } else {
                arr[k] = R[j];
                j++;
            }
            k++;
        }

        while (i < n1) {
            arr[k] = L[i];
            i++;
            k++;
        }
        while (j < n2) {
            arr[k] = R[j];
            j++;
            k++;
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = { 12, 11, 13, 5, 6, 7 };
        int n = arr.length;

        MergeSort mergeSort = new MergeSort();
        mergeSort.mergeSort(arr, 0, n - 1);

        System.out.println("排序后的数组：");
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            System.out.print(arr[i] + " ");
        }
    }
}

上述代码实现了归并排序算法，具体步骤如下：

1. mergeSort 方法中，首先判断传入的数组范围是否有效，如果 left 小于 right，则进行以下操作：
2. 将数组分为左右两半，并递归地调用 mergeSort 方法对左半部分进行排序；
3. 递归地调用 mergeSort 方法对右半部分进行排序；
4. 最后，调用 merge 方法将左右两个有序子数组合并为一个有序数组。
5. merge 方法中，首先计算左右两个子数组的大小，并创建辅助数组 L 和 R 来存储子数组的元素。
6. 然后，将左子数组的元素复制到 L 数组中，将右子数组的元素复制到 R 数组中。
7. 设定三个指针 i、j 和 k，分别指向 L、R 和原始数组 arr 的开头。
8. 在循环中，比较 L[i] 和 R[j] 的值，将较小的值放入原始数组 arr[k] 中，并移动相应的指针。
9. 如果其中一个子数组的元素已经全部放入原始数组，则将另一个子数组的剩余元素依次放入原始数组。

平衡

平衡：在一些算法中，平衡是一种关键的设计原则。平衡可以指数数据结构的平衡性（例如平衡二叉树），也可以指算法的负载平衡（例如任务分配）。平衡的设计可以提高算法的性能和可扩展性。例如，平衡二叉搜索树可以保证在最坏情况下的查找时间复杂度为O(log n)，而非平衡二叉搜索树可能会导致线性时间复杂度。

AVL树示例

import java.util.*;

public class AVLTree {
    private Node root;

    private class Node {
        int key, height;
        Node left, right;

        Node(int key) {
            this.key = key;
            this.height = 1;
        }
    }

    private int height(Node node) {
        if (node == null)
            return 0;
        return node.height;
    }

    private int balanceFactor(Node node) {
        if (node == null)
            return 0;
        return height(node.left) - height(node.right);
    }

    private Node leftRotate(Node node) {
        Node newRoot = node.right;
        node.right = newRoot.left;
        newRoot.left = node;
        updateHeight(node);
        updateHeight(newRoot);
        return newRoot;
    }

    private Node rightRotate(Node node) {
        Node newRoot = node.left;
        node.left = newRoot.right;
        newRoot.right = node;
        updateHeight(node);
        updateHeight(newRoot);
        return newRoot;
    }

    private void updateHeight(Node node) {
        node.height = Math.max(height(node.left), height(node.right)) + 1;
    }

    public void insert(int key) {
        this.root = insertNode(root, key);
    }

    private Node insertNode(Node node, int key) {
        if (node == null)
            return new Node(key);
        if (key < node.key) {
            node.left = insertNode(node.left, key);
        } else if (key > node.key) {
            node.right = insertNode(node.right, key);
        } else {
            // Duplicate keys not allowed in AVL tree
            return node;
        }
        updateHeight(node);
        int balance = balanceFactor(node);
        if (balance > 1) {
            if (key < node.left.key) {
                return rightRotate(node);
            } else if (key > node.left.key) {
                node.left = leftRotate(node.left);
                return rightRotate(node);
            }
        }
        if (balance < -1) {
            if (key > node.right.key) {
                return leftRotate(node);
            } else if (key < node.right.key) {
                node.right = rightRotate(node.right);
                return leftRotate(node);
            }
        }
        return node;
    }

    public boolean search(int key) {
        return searchNode(root, key);
    }

    private boolean searchNode(Node node, int key) {
        if (node == null)
            return false;
        if (key == node.key)
            return true;
        if (key < node.key) {
            return searchNode(node.left, key);
        } else {
            return searchNode(node.right, key);
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        AVLTree tree = new AVLTree();

        // Insert nodes
        tree.insert(6);
        tree.insert(3);
        tree.insert(9);
        tree.insert(2);
        tree.insert(5);

        // Search for a key
        System.out.println(tree.search(3)); // prints true
        System.out.println(tree.search(7)); // prints false
    }
}

AVLTree类实现了AVL树的插入和查找操作。插入操作中，根据平衡因子判断是否需要进行左旋或右旋操作来保持树的平衡。查找操作通过递归地比较节点的key来查找目标值。

通过AVL树的自平衡特性，它能够在平均情况下保持O(log n)的查找时间复杂度，即使在最坏情况下也能保持O(log n)的时间复杂度。这使得AVL树成为一个高效的数据结构来存储和搜索大量数据。

动态规划

动态规划：动态规划是一种用于优化问题解决的算法技术。它通过将问题划分为相互重叠且具有最优子结构的子问题，以逐步求解最优解。动态规划通常使用一个表格来存储中间结果，以避免重复计算。通过使用动态规划，可以有效解决一些具有重叠子问题的问题，例如最长公共子序列、背包问题等。

public class Knapsack {
    public static int knapSack(int capacity, int[] weights, int[] values, int n) {
        int[][] dp = new int[n + 1][capacity + 1];

        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= capacity; j++) {
                if (i == 0 || j == 0) {
                    dp[i][j] = 0;
                } else if (weights[i - 1] <= j) {
                    dp[i][j] = Math.max(values[i - 1] + dp[i - 1][j - weights[i - 1]], dp[i - 1][j]);
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }

        return dp[n][capacity];
    }

    public static void main(String[] args) {
        int capacity = 7;
        int[] weights = {1, 3, 4, 5};
        int[] values = {1, 4, 5, 7};
        int n = weights.length;

        int maxVal = knapSack(capacity, weights, values, n);
        System.out.println("Maximum value that can be obtained is: " + maxVal);
    }
}

knapSack方法使用了一个二维数组dp来存储子问题的最优解。外层循环i表示考虑的物品数量，内层循环j表示当前背包容量。根据子问题的最优解，我们可以进行选择：如果当前物品的重量小于等于背包容量，则可以选择将其放入背包，因此最优解可以通过选择当前物品的价值和剩余容量下的最优解得到。如果当前物品的重量超过背包容量，则我们不选择将其放入背包，最优解等于上一个子问题的最优解。

最终，dp[n][capacity]表示在考虑n个物品和给定背包容量的情况下，可以获得的最大价值。

拓扑排序

拓扑排序是一种针对有向无环图（DAG）的排序算法，它将图中的节点按照其先后关系进行排序。在拓扑排序中，如果存在边从节点 A 指向节点 B，则节点 A 必须在节点 B 之前进行排序。拓扑排序可以应用于任务调度、依赖关系分析等领域。

举例说明

import java.util.*;

public class TopologicalSort {

    public static List<Integer> topologicalSort(int numCourses, int[][] prerequisites) {
        List<Integer> order = new ArrayList<>();
        
        // 1. 构建邻接表
        List<List<Integer>> adjacencyList = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
            adjacencyList.add(new ArrayList<>());
        }
        for (int[] prerequisite : prerequisites) {
            int course = prerequisite[0];
            int prerequisiteCourse = prerequisite[1];
            adjacencyList.get(prerequisiteCourse).add(course);
        }
        
        // 2. 计算每个节点的入度
        int[] inDegree = new int[numCourses];
        for (List<Integer> prerequisitesList : adjacencyList) {
            for (int course : prerequisitesList) {
                inDegree[course]++;
            }
        }
        
        // 3. 将入度为0的节点加入排序结果中
        Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
        for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
            if (inDegree[i] == 0) {
                queue.offer(i);
            }
        }
        
        // 4. 按照拓扑排序的顺序依次移除入度为0的节点及其关联边
        while (!queue.isEmpty()) {
            int course = queue.poll();
            order.add(course);
            
            for (int prerequisiteCourse : adjacencyList.get(course)) {
                inDegree[prerequisiteCourse]--;
                if (inDegree[prerequisiteCourse] == 0) {
                    queue.offer(prerequisiteCourse);
                }
            }
        }
        
        // 5. 判断是否存在环
        if (order.size() != numCourses) {
            return new ArrayList<>();
        }
        
        return order;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        int numCourses = 4;
        int[][] prerequisites = {{1, 0}, {2, 0}, {3, 1}, {3, 2}};
        List<Integer> order = topologicalSort(numCourses, prerequisites);
        
        System.out.println("拓扑排序结果：");
        for (int course : order) {
            System.out.print(course + " ");
        }
    }
}

我们首先构建了一个邻接表来表示有向图，然后使用一个数组来记录每个节点的入度。我们将入度为0的节点入队，并依次处理队列中的节点。对于每个节点，我们将其关联节点的入度减1，若减到0则将其入队。最后，我们判断排序结果中的节点数量是否等于总节点数，以确定是否存在环。

稳定婚姻问题

稳定婚姻问题是指在一个婚姻市场中，给定每个人对其他人的偏好列表，如何找到一组稳定的婚姻配对，其中没有两个人会愿意离开他们的配偶并与其他人组成一对。这个问题由美国经济学家戈尔德伯格和瑞肯（Gale and Shapley）在1962年提出，并且被广泛研究和应用。

解决稳定婚姻问题的经典算法是 Gale-Shapley 算法，也被称为 Deferred Acceptance Algorithm（延迟接受算法）。这个算法的思想是通过不断进行配对和交叉选择，直到找到所有人的最终配对。

举例说明

import java.util.*;

class StableMarriage {

    public static void main(String[] args) {
        int[][] menPreferences = { {1, 0, 3, 2},
                                   {1, 2, 3, 0},
                                   {2, 0, 3, 1},
                                   {0, 1, 2, 3} };
        int[][] womenPreferences = { {0, 1, 2, 3},
                                     {1, 0, 2, 3},
                                     {2, 1, 3, 0},
                                     {3, 2, 1, 0} };
        int n = menPreferences.length;
        int[] womenPartners = new int[n];
        boolean[] menEngaged = new boolean[n];

        stableMarriage(menPreferences, womenPreferences, womenPartners, menEngaged, n);

        System.out.println("Stable marriages:");
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            System.out.println("Man " + i + " is engaged to Woman " + womenPartners[i]);
        }
    }

    static void stableMarriage(int[][] menPreferences, int[][] womenPreferences, int[] womenPartners,
                                boolean[] menEngaged, int n) {
        int freeMen = n;
        while (freeMen > 0) {
            int man;
            for (man = 0; man < n; man++) {
                if (!menEngaged[man]) {
                    break;
                }
            }
            for (int i = 0; i < n && !menEngaged[man]; i++) {
                int woman = menPreferences[man][i];
                if (womenPartners[woman - n] == -1) {
                    womenPartners[woman - n] = man;
                    menEngaged[man] = true;
                    freeMen--;
                } else {
                    int currentPartner = womenPartners[woman - n];
                    if (isPreferable(womenPreferences, woman, man, currentPartner)) {
                        womenPartners[woman - n] = man;
                        menEngaged[man] = true;
                        menEngaged[currentPartner] = false;
                    }
                }
            }
        }
    }

    static boolean isPreferable(int[][] womenPreferences, int woman, int man, int currentPartner) {
        int n = womenPreferences.length;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (womenPreferences[woman][i] == man) {
                return true;
            }
            if (womenPreferences[woman][i] == currentPartner) {
                return false;
            }
        }
        return false;
    }
}

我们创建了一个 StableMarriage 类，并在 main 方法中定义了男性和女性的偏好列表。stableMarriage 方法通过实现 Gale-Shapley 算法来找到稳定的婚姻配对。根据算法，我们从男性中选择一个没有配偶的人，然后逐一尝试与女性进行匹配，直到找到匹配为止。如果女性已有配偶，则根据偏好列表来决定是否更换当前配偶。最后，我们输出了稳定婚姻配对的结果。

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问题算法还能很好的泛化吗？

稳定婚姻问题通常涉及到两组人，比如男性和女性，或者雇主和求职者。每个人都会根据自己的偏好对其他人进行排序，而不同的人可能有不同的偏好排序。稳定婚姻问题的目标是找到一组配对，使得不存在两个人能够离开他们的配偶并与其他人组成一对，也就是不存在更好的匹配。

为了解决这个问题，Gale和Shapley提出了一个算法，被称为婚姻稳定算法（the deferred acceptance algorithm）。这个算法通过迭代的方式来找到稳定的婚姻配对。具体步骤如下：

1. 每个人都先选择他们最喜欢的人，并把自己作为候选人给对方；
2. 每个人选择当前候选人中最满意的一位，并把其他人从候选人中删掉；
3. 如果某个人被多个候选人选择了，他会选择他最喜欢的一位，并把其他人从候选人中删掉；
4. 重复步骤2和3，直到没有人被多个候选人选择为止。

婚姻稳定算法保证了最终的配对是稳定的。也就是说，不存在两个人能够离开他们的配偶并与其他人组成一对。这是因为在算法的每一步，每个人都会选择他们最满意的一位，并且至少有一位候选人选择了他们。

汉诺塔

汉诺塔是一个经典的递归问题，它涉及到将一组碟子从一个塔座移动到另一个塔座上的问题。具体来说，我们拥有三个塔座，标记为A、B和C，初始时所有的碟子都放在塔座A上，按照从最大到最小的顺序堆叠。而我们的目标是将这些碟子移动到塔座C上，通过借助塔座B。

java举例

public class HanoiTower {
    public static void main(String[] args) {
        int numOfDisks = 3;
        solveHanoiTower(numOfDisks, 'A', 'B', 'C');
    }

    public static void solveHanoiTower(int n, char source, char auxiliary, char target) {
        if (n == 1) {
            System.out.println("Move disk 1 from " + source + " to " + target);
            return;
        }

        solveHanoiTower(n - 1, source, target, auxiliary);
        System.out.println("Move disk " + n + " from " + source + " to " + target);
        solveHanoiTower(n - 1, auxiliary, source, target);
    }
}

在上述代码中，solveHanoiTower 方法接收四个参数：n表示要移动的碟子的数量，source表示起始塔座，auxiliary表示辅助塔座，target表示目标塔座。当只有一个碟子时，直接将其从起始塔座移动到目标塔座即可。对于多个碟子，首先将前n-1个碟子从起始塔座移动到辅助塔座上，再将最大的碟子从起始塔座移动到目标塔座上，最后将辅助塔座上的n-1个碟子移动到目标塔座上，通过递归调用实现。

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