【LeetCode】421. 数组中两个数的最大异或值（哈希集合，字典树，详细图文解释）

题目

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分析

题目要求 O(N)时间复杂度，下面会讨论两种典型的 O(N) 复杂度解法。

1. 利用哈希集合存储按位前缀。
2. 利用字典树存储按位前缀。

这两种解法背后的思想是一样的，都是先将整数转化成二进制形式，再从最左侧的比特位开始逐一处理来构建最大异或值。两个方法的不同点在于采用了不同的数据结构来存储按位前缀。第一个方法在给定的测试集下执行速度更快，但第二种方法更加普适，更加简单。

异或运算的性质

解决这个问题，我们首先需要利用异或运算的一个性质：

如果 a ^ b = c 成立，那么a ^ c = b 与 b ^ c = a 均成立。

即 如果有三个数，满足其中两个数的异或值等于另一个值，那么这三个数的顺序可以任意调换。

（说明：利用这条性质，可以不使用第 3 个变量而交换两个变量的值。）

• 那么如何理解这个性质呢？因为异或运算其实就是 二进制下不进位的加法，你不妨自己举几个例子，在草稿纸上验证一下。

如何应用到本题？

这道题找最大值的思路是这样的：因为两两异或可以得到一个值，在所有的两两异或得到的值中，一定有一个最大值，我们推测这个最大值应该是什么样的？即根据“最大值”的存在性解题（一定存在）。在这里要强调一下：

我们只用关心这个最大的异或值需要满足什么性质，进而推出这个最大值是什么，而不必关心这个异或值是由哪两个数得来的。

（上面这句话很重要，如果读者一开始看不明白下面的思考，不妨多看几遍我上面写的这句话。）

于是有如下思考：

1、二进制下，我们希望一个数尽可能大，即希望越高位上越能够出现“1”，这样这个数就是所求的最大数，这是贪心算法的思想。

2、于是，我们可以从最高位开始，到最低位，首先假设高位是 “1”，把这 n 个数全部遍历一遍，看看这一位是不是真的可以是“1”，否则这一位就得是“0”，判断的依据是上面“异或运算的性质”，即下面的第 3 点；

3、如果 a ^ b = max 成立 ，max 表示当前得到的“最大值”，那么一定有 max ^ b = a 成立。我们可以先假设当前数位上的值为 “1”，再把当前得到的数与这个 n 个数的 前缀（因为是从高位到低位看，所以称为“前缀”）进行异或运算，放在一个哈希表中，再依次把所有 前缀 与这个假设的“最大值”进行异或以后得到的结果放到哈希表里查询一下，如果查得到，就说明这个数位上可以是“1”，否则就只能是 0（看起来很晕，可以看代码理解）。

一种极端的情况是，这 n 个数在某一个数位上全部是 0 ，那么任意两个数异或以后都只能是 0，那么假设当前数位是 1 这件事情就不成立。

4、如何得到前缀，可以用掩码（mask），掩码可以进行如下构造，将掩码与原数依次进行 “与” 运算，就能得到前缀。

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图片解释

以题目中的数组 [3, 10, 5, 25, 2, 8] 为例，下面讲解这个最大的两两异或值是如何得到的，这里为了方便演示，只展示一个数二进制的低 8 位。

方法一：利用哈希集合存储按位前缀

参考代码：

import java.util.HashSet;
import java.util.Set;

public class Solution {
   

    // 先确定高位，再确定低位（有点贪心算法的意思），才能保证这道题的最大性质
    // 一位接着一位去确定这个数位的大小
    // 利用性质： a ^ b = c ，则 a ^ c = b，且 b ^ c = a

    public int findMaximumXOR(int[] nums) {
   
        int res = 0;
        int mask = 0;
        for (int i = 30; i >= 0; i--) {
   
            // 注意点1：注意保留前缀的方法，mask 是这样得来的
            // 用异或也是可以的 mask = mask ^ (1 << i);
            mask = mask | (1 << i);

            // System.out.println(Integer.toBinaryString(mask));
            Set<Integer> set = new HashSet<>();
            for (int num : nums) {
   
                // 注意点2：这里使用 & ，保留前缀的意思（从高位到低位）
                set.add(num & mask);
            }

            // 这里先假定第 n 位为 1 ，前 n-1 位 res 为之前迭代求得
            int temp = res | (1 << i);
            for (Integer prefix : set) {
   
                if (set.contains(prefix ^ temp)) {
   
                    res = temp;
                    break;
                }
            }
        }
        return res;
    }
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(N)，把整个数组看了 31 次，即 O(31N) = O(N)。
• 空间复杂度：O(n)，这里的 n是哈希表的长度，具体长度是多少，与输入的规模、扩容策略、负载因子和冲突策略等有关。例如 Java 在 JDK 1.8 以后，当哈希值冲突的时候，先把冲突的元素放在单链表上，当冲突的键值大于 8 的时候，再转成红黑树。

方法二：逐位字典树

为什么哈希集合不适合用来存储按位前缀？

对于那些一定不能得到最终解的路径可以通过剪枝来舍弃，但是用哈希集合来存储按位前缀是没法做剪枝优化的。举个例子，两次异或操作之后为了得到 (11***)_2(11∗∗∗)2，显然只能让 25 和 最左侧为 0000 前缀的数字（2，3， 5）组合。

$3=(00011{)}_{}$