高中奥数 2021-11-27

2021-11-27-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与方程 P024 例5）

设复平面上一个正方形的四个顶点对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程的四个根.求这个正方形面积的最小值.

分析与解

设正方形的中心对应的复数是,该正方形的顶点均匀分布在一个圆周上,它们对应的复数是方程的解,其中的是某个复数.于是

通过对比系数,可知是有理数,再结合是整数,便知是整数.于是,由是整数,可知亦是整数.

以上的讨论表明,正方形顶点对应的复数是整系数方程的根,其外接圆半径不小于.

于是,正方形的面积不小于.

而方程的四个根在复平面上对应于一个正方形的顶点,此正方形面积为.

故所求正方形面积的最小值是.

2021-11-27-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与方程 P025 例6）

已知复数满足,求证:.

分析与解

将已知复数方程变形为,

要证,只要证就行了,这可以用反证法.

设,则

记,

若,则,即,有,,矛盾.

从而只能有,故,证毕.

注本题处理技巧独特,读者应仔细体会.

2021-11-27-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与方程 P025 例7）

设是不小于的整数,是多项式的一个根,且.求证.

分析与解

用反证法.若,则

$\begin{aligned} \left\vert\alpha ^{n}+a_{n-1}\alpha ^{n-1}\right\vert&=\left\vert a_{n-2}\alpha^{n-2}+\cdots+a_{0}\right\vert\\ &\leqslant\left\vert \alpha\right\vert^{n-2}+\cdots+\left\vert \alpha\right\vert+1\\ &=\dfrac{\left\vert\alpha\right\vert^{n-1}-1}{\left\vert\alpha\right\vert-1}\\ &<\dfrac{\left\vert\alpha\right\vert^{n-1}}{\left\vert\alpha\right\vert-1} \end{aligned}$

所以.

而,矛盾!

故,证毕.

2021-11-27-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与方程 P026 例8）

设正整数.

求证:在内没有根.

分析与解

用反证法.设且,则

若,则,所以

$\begin{aligned} \left\vert z\right\vert^{2}&\geqslant\left\vert z\right\vert^{n_{1}}\\ &=\left\vert1+z^{n_{1}}+z^{n_{2}}+\cdots +z^{n_{k}}\right\vert\\ &\geqslant 1-\left(\left\vert z\right\vert^{n_{2}}+\cdots+\left\vert z\right\vert^{n_{k}}\right)\\ &\geqslant 1- \dfrac{\left\vert z\right\vert^{3}}{1-\left\vert z\right\vert}\\ &\geqslant 1-\left\vert z\right\vert, \end{aligned}$

与(1)矛盾!

所以.

若,则

$\begin{aligned} \left\vert z^{2}\right\vert&=\left\vert 1-\left(1-z\right)\left(1+z\right)\right\vert\\ &=\left\vert 1+\left(1-z\right)\left(z^{n_{2}}+\cdots +z^{n_{k}}\right)\right\vert\\ &\geqslant 1-\left\vert \left(z^{n_{2}}-z^{n_{2}+1}\right)+\left(z^{n_{3}}-z^{n_{3}+1}\right)+\cdots +\left(z^{n_{k}}-z^{n_{k}+1}\right)\right\vert, \end{aligned}$

若存在i,使,则这两项抵消.所以

$\left\vert z\right\vert^{2}\geqslant 1-\left(\left\vert z\right\vert^{n_{2}}+\left\vert z\right\vert^{n_{2}+1}+\cdots\right)\geqslant 1- \dfrac{\left\vert z\right\vert^{3}}{1-\left\vert z\right\vert}\geqslant 1-\left\vert z\right\vert,$

矛盾!

所以.

,所以

$\begin{aligned} \left\vert z\right\vert^{3}& \geqslant 1-\left\vert \left(z^{n_{3}}-z^{n_{3}+1}\right)+\cdots +\left(z^{n_{k}}-z^{n_{k}+1}\right)\right\vert\\ &\geqslant 1-\left(z^{n_{3}}+\cdots +z^{n_{k}}\right)\\ &\geqslant 1- \dfrac{\left\vert z\right\vert^{3}}{1-\left\vert z\right\vert}\\ &\geqslant 1-\left\vert z\right\vert\\ &>\left\vert z\right\vert^{2}, \end{aligned}$

由此得到,,与矛盾.

综上所述,原命题成立,证毕.

注以上两例的技巧性比较高,均是反证法结合模的放缩,利用不等式复数与向量解决了问题.

高中奥数 2021-11-27

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