比较静态分析03-微分、偏微、全微、偏导、方向导、全导

尽管导数dy/dx被定义为当v—>0时，q=g(v)的差商的极限，但是每次求导数时，没有必要都进行取极限的操作，因为存在着各种求导法则可以直接求导所需要的导数。

• 求导法则

求导法则1

求导法则2

求导法则3

我们可以先从“微分”入手，然后再说“导数”。“微分”是理解微积分的关键，其内核是** “以直代曲，线性逼近”。**

• 微分
  对于一元微分，y=f(x)，y的微分是dy=f'(x)dx，一元函数的微分就是切线。
  
  一元微分

一元微分

二元微分就是所有的切线都存在，并且都在一个平面。如果这样一个平面存在的话，它就是二元的微分，我们也叫它为“切平面”。这个微分可以提供对曲面很好的“线性近似”。

二元微分

微分和求导

微分和求导

微分和点弹性

微分和点弹性

• 偏微分
  将上图丢到三维空间中，空间曲线的切线即偏微分

三维

则平面曲线变成了空间曲线，该空间曲线是空间平面y=0和空间平面f(x,y)的交线。

交线

称该切线为f(x,y)对于x的偏微分，因为此时y=0，y是固定不变的。同样的只要所有y=C平面和f(x,y)的交线对应的切线都是f(x,y)对于x的偏微分。反之，f(x,y)平面和x=C平面得到的交线对应的切线都是f(x,y)关于y的偏微分。

综上，偏微分就是：

1. 固定y，变换x得到的是f(x,y)关于x的偏微分
2. 固定x，变换y得到的是f(x,y)关于y的偏微分

• 偏导数
  偏导数即偏微分的斜率，即图中的α
  
  偏导数

偏导数

• 全微分
  所有和xy平面垂直的平面都相交得到交线，这些交线都会有切线（微分）

  
  
  360.gif

如果这些切线都存在，并且这些切线（无数条）还都在同一个平面上（平面不是曲面），那么得到的这个平面就是全微分（也叫做切平面，或者说切空间）

交线.gif

总结，全微分就是：

1. 360°微分都存在
2. 并且这些微分要共面，得到的就是全微分

全微分和储蓄函数

储蓄函数

dS 作为两种不同原因所引致的变化之和，称作储蓄函数的全微分。求此全微分的过程，称作全微分法 。 (8.8) 等号右边的两个加项分别被称为储蓄函数的偏微分。

• 微分法则

  
  
  微分法则
  
  
  微分法则
• 全导数
  全导数是多元函数中的一个概念。但是全导数不是切线斜率。为了说清楚，我们需要先从导数，然后偏导数、然后方向导数、最后说全导数。

1. 导数
   在一元函数的情况下，导数就是函数的变化率

   
   
   一元

在二元函数的情况下，每根曲线都可能可以做一根切线，每一根切线都和一个全导数“相关”。

二元

2. 参数方程
   为了说清楚，需要借助数学手段—参数方程

   
   
   二元

上图中的曲线是一个关于x,y的函数f(x,y)，自然其与xy平面上的曲线具有一一对应的关系。因此我们现在只需要描述xy平面上的曲线就可以实现描述曲面上曲线的目的。此时就需要参数方程来帮忙了。

例如曲面上的曲线为f(x,y)=x^2+y2，注意此时的x,y都可以自由改变，因为x,y可以自由取值。

但此时增加参数方程：

参数方程

我们把这根参数方程决定的直线丢到三维空间里。根据上面说的，这根直线可以决定一根曲面上的曲线。

i参数方程

这根曲面上的曲线即

曲面上的曲线

参数方程如同“如来神掌”将三维图像一下子拍扁：

• xyz空间到zt平面

  
  
  参数方程

我们开始说偏导数、方向导数和全导数。

3. 偏导数、方向导数和全导数

3.1. 偏导数
由xy平面中平行于x轴或者y轴的直线决定的曲线，偏导数即这根曲线的切线的斜率。

偏导数

3.2 方向导数
xy平面不光有平行于x轴或y轴的直线，还有各种射线，由这些射线决定的曲线，方向导数即这些曲线的左导数、右导数。

方向导数

3.3 全导数
xy平面除了直线、射线外，还有很多不同的曲线，由这些曲线决定的曲线。

这些曲线总可以写成参数方程的形式：

全导数

这些曲线也能决定曲面上的曲线，比如：

全导数

此时的曲面的参数方程为：

参数方程

综上，有：
过点A可以做无数条曲线
所有这些曲线都可以写成参数方程的形式
偏导数、方向导数、全导数是由不同的曲线所决定的
偏导数、方向导数其实是特殊的全导数

需要注意的是，偏导数、方向导数都是切线的斜率，但是全导数不是曲线的斜率。因为如果将全导“拍扁”，是发生变形的，因为其全导对应的曲面曲线不在一个平面中。所以，用硬生生“拍扁”后的平面来测度是不对的。

而偏导数、方向导数的曲线本身就位于一个曲面上，用参数方程把它们“拍扁”后不会发生变形。

4. 求全导数

   
   
   全导数

全导数

全导数

全导数和全微分法的实质，是考虑到直接和间接的所有渠道;通过这些渠道，基本变量变化的影响能够传递到所研究的特定因变量中 。

全导数和生产函数

生产函数

参考资料：

1. 北大经院经济学课件
2. 《数理经济学的基本方法》第四版，蒋中一
3. 求解全微分的意义？最好感性一点的认识
4. 多元函数中可微与可导的直观区别是什么？
5. ncue课件
6. 什么是全导数？