【算法】背包问题——01背包
题目
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi 用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0 < N , V ≤ 1000
0 < vi , wi ≤ 1000
思路
两层循环：
外层：循环遍历每一个物品
内层：在当前物品放入背包中，求出在背包有不同容量时装入物品的最大值。
手动模拟：
注意：在背包容量为0，或者没有物品的时候，背包内物品的最大价值为0；
遍历第1个物品：
背包容积为1的时候：可以将该物品1放入，总价值为2。
背包容积为2的时候：可以将该物品1放入，总价值为2。
背包容积为3的时候：可以将该物品1放入，总价值为2。
背包容积为4的时候：可以将该物品1放入，总价值为2。
背包容积为5的时候：可以将该物品1放入，总价值为2。
遍历第2个物品：
背包容积为1的时候：可以将该物品1放入，总价值为2。
背包容积为2的时候：可以将该物品2放入，总价值为4。
背包容积为3的时候：可以将该物品1、2放入，总价值为6。
背包容积为4的时候：可以将该物品1、2放入，总价值为6。
背包容积为5的时候：可以将该物品1、2放入，总价值为6。
遍历第3个物品：
背包容积为1的时候：可以将该物品1放入，总价值为2。
背包容积为2的时候：可以将该物品2放入，总价值为4。
背包容积为3的时候：可以将该物品1、2放入，总价值为6。
背包容积为4的时候：可以将该物品1、2放入，总价值为6。
背包容积为5的时候：可以将该物品1、2、3放入，总价值为8。
遍历第4个物品：
背包容积为1的时候：可以将该物品1放入，总价值为2。
背包容积为2的时候：可以将该物品2放入，总价值为4。
背包容积为3的时候：可以将该物品1、2放入，总价值为6。
背包容积为4的时候：可以将该物品1、2放入，总价值为6。
背包容积为5的时候：可以将该物品1、2、3放入，总价值为8。
可以得出：
状态转移方程： f[ i ][ j ] = max(f[ i ][ j ],f[ i - 1 ][ j - v[ i ] ] + w[ i ]);
代码1
//二维数组版
#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int n,m;// n代表物品个数，m代表背包容量
int v[N],w[N];
int f[N][N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
for(int i = 1; i <= n; i ++)// 物品循环
{
for(int j = 0; j <= m; j ++)// 容量循环
{
f[i][j] = f[i - 1][j];
if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j],f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
}
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
优化
通过手动模拟，我们可以发现，不需要二维数组就可以存储数据，为了数据防止被覆盖，内层循环需要从m依次循环到v[ i ];
状态转移方程：
f[ j ] = max( f[ j ],f[ j - v[ i ] ] + w[ i ]);
代码2
// 优化为一维数组版
#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int n,m;// n代表物品个数，m代表背包容量
int v[N],w[N],f[N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
for(int i = 1; i <= n; i ++)// 物品循环
for(int j = m; j >= v[i]; j --)// 容量循环
f[j] = max(f[j],f[j - v[i]] + w[i]);
cout << f[m] << endl;
return 0;
}