数学概率 | 旋转矩阵、欧拉角、四元数

目录

一，旋转矩阵

二维旋转矩阵

三维旋转矩阵

二，欧拉角

三，四元数

四，矩阵、欧拉角、四元数相互转换

四元数转矩阵

矩阵转四元数

欧拉角转矩阵

矩阵转欧拉角

欧拉角转四元数

四元数转欧拉角

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一，旋转矩阵

二维旋转矩阵

R() = 

推导，以二维平面为例旋转：

•  = cos( + ) = coscos - sinsin =  cos * x - sin * y 
•  = sin( + ) = sincos + cossin = sin * x + cos * y

( , ) = (x , y) *   =（cos * x - sin * y ，sin * x + cos * y）

//Houdini vex 验证
matrix2 m = ch2('m');
vector2 p = set(@P.x, @P.y);
p *= m;

@P.x = p.x;
@P.y = p.y;

三维旋转矩阵

() = 

 () = 

 () = 

参考二维推导，如绕z轴旋转：

 ( , ，z) = (x , y , z) *  = （cos * x - sin * y ，sin * x + cos * y , z）

注，已经过Houdini vex 验证；

二，欧拉角

        欧拉角(Euler Angle)，由著名数学家莱昂哈德·欧拉(1707-1783)提出，旨在用三个角度来表示刚体在三维空间的旋转，自身有一些局限性；

• 在坐标系中描述物体姿态的三个角，依据绕x轴Roll，绕y轴Pitch、绕z轴Yaw的三个角度旋转可还原描述的姿态；

 

由两种旋转方式（静态、动态，这两种方式的所获得的旋转矩阵转是一样的：

• 绕固定（参考）坐标轴旋转（静态），绕自身坐标轴旋转（动态），旋转轴会发生变化，按照不同的旋转轴顺序，所获欧拉角也不同；
• 如绕固定（参考）坐标轴X-Y-Z旋转角度对应 (α,β,γ) ，绕自身坐标轴Z-Y-X旋转角度也对应 (α,β,γ)，旋转矩阵为（注意坐标轴顺序）：

注，已经过Houdini vex 验证；

如欧拉角在俯仰角出现±90°，会出现万向锁现象，是欧拉角表征姿态的一个固有缺陷；

在进行姿态解算时往往会优先使用四元数方法进行描述；

三，四元数

        四元数是由爱尔兰数学家Hamilton发明的，由1个实数加上3个复数组合而成，通常可以表示成 w + xi + yj + zk 或者（w，（x，y，z）），其中w、x、y、z都是实数；

对于i、j、k本身的几何意义可以理解为一种旋转：

• i，旋转代表Y轴与Z轴相交平面中，Y轴正向向Z轴正向的旋转（）；
• j，旋转代表Z轴与X轴相交平面中，Z轴正向向X轴正向的旋转（）；
• k，旋转代表X轴与Y轴相交平面中，X轴正向向Y轴正向的旋转（）；
• -i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转；

q = w + xi + yj + zk

如绕某向量 K=(, , ) 旋转，则四元数为：

• (x，y，z)  =  (, , ) *   
• w =   
• 且满足条件：+++=1

注，已经过Houdini vex 验证，在vex内四元数为（（x，y，z），w）；

四，矩阵、欧拉角、四元数相互转换

四元数转矩阵

矩阵转四元数

欧拉角转矩阵

矩阵转欧拉角

欧拉角转四元数

四元数转欧拉角

注：

• 欧拉角，直观易理解，存在万向锁问题；
• 旋转矩阵，不直观，计算复杂（尤其求微积分时）；
• 四元数，不直观，但无奇点，能表征任何旋转关系，且表示简单，只有四个元素，计算量小；