力扣第279题 完全平方数 c++ 附java代码 （完全背包）动态规划问题

题目

279. 完全平方数

中等

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给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例 1：

输入：n = 12

输出：3 
解释：12 = 4 + 4 + 4

示例 2：

输入：n = 13

输出：2
解释：13 = 4 + 9

提示：

• 1 <= n <= 104

思路和解题方法

• 在两个版本中，都使用了一个一维数组 dp 来保存状态。其中，dp[i] 表示当目标数为 i 时，需要的最小完全平方数和。初始值为 INT_MAX 表示不可达。
• 在第一个版本中，我们通过遍历背包和物品来更新状态。外层循环遍历背包，内层循环遍历物品，对于每一个背包 i，我们尝试将某个完全平方数 j*j 放入背包，然后更新状态。递推公式为：dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i])，表示将 j*j 放入背包后，需要的完全平方数和为 dp[i - j * j] + 1，与之前的状态 dp[i] 比较取较小值。
• 而在第二个版本中，我们通过遍历物品和背包来更新状态。外层循环遍历物品，内层循环遍历背包，对于每一个物品 i*i，我们尝试将其放入背包 j 中，然后更新状态。递推公式为：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j])，表示将 i*i 放入背包 j 后，需要的完全平方数和为 dp[j - i * i] + 1，与之前的状态 dp[j] 比较取较小值。
• 两个版本的代码实现思路是一样的，只是遍历的顺序不同，但最终得到的结果是相同的。

复杂度

        时间复杂度:

                O(n * sqrt(n))  （sqrt()为开方函数）

时间复杂度：

        两个版本的代码都使用了嵌套循环。最外层的循环遍历的次数都是目标数 n，内层的循环遍历的次数都是完全平方数的个数，而最大的完全平方数为 sqrt(n)，因此内层循环的时间复杂度为 O(sqrt(n))。因此，两个版本的代码的时间复杂度都是 O(n * sqrt(n))。

        空间复杂度

                O(n)

空间复杂度：

        两个版本的代码都使用了一个一维数组 dp 来记录状态。数组的长度为 n + 1，因此空间复杂度为 O(n)。而其他变量的空间复杂度都是常数级别的。

c++ 代码

// 版本一
class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector dp(n + 1, INT_MAX); // 创建一个大小为 n+1 的数组，初始化为 INT_MAX，表示不可达状态
        dp[0] = 0; // 初始条件，当目标数为 0 时，需要的最小完全平方数和为 0
        for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包，i 表示当前目标数
            for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品，j*j 表示完全平方数
                dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]); // 更新状态，取较小值
            }
        }
        return dp[n]; // 返回目标数为 n 时的最小完全平方数和
    }
};

// 版本二
class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector dp(n + 1, INT_MAX); // 创建一个大小为 n+1 的数组，初始化为 INT_MAX，表示不可达状态
        dp[0] = 0; // 初始条件，当目标数为 0 时，需要的最小完全平方数和为 0
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) { // 遍历物品，i 表示当前物品，即完全平方数
            for (int j = i * i; j <= n; j++) { // 遍历背包，j 表示当前目标数
                dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]); // 更新状态，取较小值
            }
        }
        return dp[n]; // 返回目标数为 n 时的最小完全平方数和
    }
};

Java代码

class Solution {
    // 版本一，先遍历物品, 再遍历背包
    public int numSquares(int n) {
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 初始化
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            dp[j] = max;
        }
        // 当和为0时，组合的个数为0
        dp[0] = 0;
        // 遍历物品
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
            // 遍历背包
            for (int j = i * i; j <= n; j++) {
                // 更新状态，取较小值
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
		// 不需要这个if判断语句，因为在完全平方数这一问题中不会有"凑不成"的情况发生（一定可以用"1"来组成任何一个n），所以注释掉了这个if语句。
            }
        }
        return dp[n]; // 返回目标数为 n 时的最小完全平方数和
    }
}

class Solution {
    // 版本二， 先遍历背包, 再遍历物品
    public int numSquares(int n) {
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 初始化
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            dp[j] = max;
        }
        // 当和为0时，组合的个数为0
        dp[0] = 0;
        // 遍历背包
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            // 遍历物品
            for (int i = 1; i * i <= j; i++) {
                // 更新状态，取较小值
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
            }
        }
        return dp[n]; // 返回目标数为 n 时的最小完全平方数和
    }
}

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