05 行列式

这是关于3Blue1Brown "线性代数的本质"的学习笔记。

面积变化

线性变换会使得基向量$i$和$j$围城的区域面积被缩放。

图1 线性变换可能会使得基向量 $i$和 $j$围城的区域面积被缩放

行列式

线性变换改变面积的比例，被称为这个变换的行列式。

图2 线性变换的行列式 比如：一个线性变换的行列式是3，就是说它将区域面积增加为原来的3倍。

图3 线性变换的行列式举例

一个二维线性变换的行列式为0，说明它将整个二维平面压缩到一条直线甚至一个点上。

图4 行列式为0的线性变换

空间定向改变

当空间定向改变（相当于二维平面翻转）的情况发生时，行列式为负。

图5 行列式为负的线性变换 图5中，线性变换的行列式为-5，这就是说变换后空间被翻转，并且面积放大为原来的5倍。

负的面积缩放比例为什么会自然地用来描述定向改变？

行列式为负值

考虑$i$逐渐接近$j$所形成的一系列变换：当$i$靠近$j$时，空间被压缩的更严重，这意味着行列式趋近于0；当$i$与$j$完全重合时，行列式为0；如果$i$继续沿着这个方向运动，行列式继续减小为负值就是一件很自然的事。

三维空间

三维空间线性变换就是改变体积的比例。

图6 三维空间线性变换行列式的几何意义

当三维线性变换行列式大于0时，体积放大；等于0时，被变换到平面、直线、甚至点上。
那三维线性变换行列式小于0是什么含义？
三维空间的定向用右手定则来描述。

图7 右手定则

如果线性变换后，$i$、$j$、$i$之间仍然满足右手定则，则三维空间定向未发生变化。否则，如果在变换后只能用左手这么做，说明定向发生了改变，行列式为负值。

三维空间线性变换行列式

行列式的计算

对于一个2×2的矩阵，公式就是ad-bc
$$det(\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right])=ad-bc$$

图8 3×3矩阵行列式的计算