AM@多元函数求导@偏导数

abstract

• 多元函数求导
• 偏导数和偏导函数及其计算

偏导数

• 以二元偏导数为例,多元偏导数类似

点处偏导数

• 设函数$z=f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$的某个邻域内有定义,当自变量$y$固定在$y_0$,而自变量$x$在点$x_0$处有增量$\Delta x$,$(\Delta x\ne 0)$时,函数$z$对$x$的偏增量为${\Delta }_{x}z$=$f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)$,若极限$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\Delta }_{x}z}{\Delta x}$=$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$存在,则称此极限为函数$z=f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$处对$x$的偏导数,记为

  • $\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(x_0,y_0)}$或$\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(x_0,y_0)}$或$z_x{|}_{(x_0,y_0)}$或$f_x(x_0,y_0)$
    • 其中前三种又可以作$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{\begin{array}{c}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}$或$\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{\begin{array}{c}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}$或$z_x{|}_{\begin{array}{c}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}$
    • 最后一种最简单,为函数式写法

• 简单地说:若

  • f x ′ ( x 0 , y 0 ) = ∂ f ∂ x ∣ ( x 0 , y 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x f_{x}'(x_0,y_0)=\left.\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right|_{(x_0,y_0)} =\lim_{\Delta{x}\to{0}}\frac{f(x_0+\Delta{x},y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta{x}} fx′​(x0​,y0​)=∂x∂f​ ​(x0​,y0​)​=Δx→0lim​Δxf(x0​+Δx,y0​)−f(x0​,y0​)​

• 则称此极限$f_x^{\prime }(x_0,y_0)$为函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的对于变量$x$的偏导数

可偏导

• 当函数$z=f(x,y)$在$P_0(x_0,y_0)$处关于自变量$x,y$的偏导数都存在时,则称$f(x,y)$在$P_0$处可偏导

偏导函数

• 若$f(x,y)$在区域$D$内每一点$(x,y)$处对$x$的偏导数都存在,表示为$f_x^{\prime }(x,y)$,则这个偏导数就是$x,y$的二元函数,称为函数$f(x,y)$对自变量$x$的偏导函数,在不引起混淆的情况下,偏导函数也简称为偏导数;

• 偏导函数可以记为$\frac{\partial z}{\partial x}$,$\frac{\partial f}{\partial x}$.$z_x$,$f_x(x,y)$;

  • 其中$z_x$还可以作$z_x^{\prime }$;$f_x(x,y)$还可以作$f_x^{\prime }(x,y)$;
  • 即在给出脚标变量后,上表的一撇(${}^{\prime }$)可以省略

• 由$(x_0,y_0)$具有一般性(任意性),所以上述形式可写作

  • $$f_x^{\prime }(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}$$

• 类似的,另一自变量$y$的偏导函数定义相仿.

  • $$f_y^{\prime }(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}$$

$n$元函数的偏导数

• $n$元函数$f(x_1,\cdots ,x_n)$关于第$i$个自变量$x_i$的偏导数定义为:

• $f_{x_i}^{\prime }(x_1,\cdots ,x_n)$=$\frac{\partial f}{\partial x_i}$=$\underset{\Delta x_i\to 0}{\lim }\frac{f(x_1,\cdots ,x_i+\Delta x_i,\cdots ,x_n)-f(x_1,\cdots ,x_i,\cdots ,x_n)}{\Delta x_i}$

偏导数和偏导函数的关系

• 偏导函数的概念可知,$f(x,y)$在$P_0$处的偏导数$f_x(x_0,y_0)$就是偏导函数$f_x(x,y)$在$(x_0,y_0)$处的函数值,即$f_x(x_0,y_0)$=$f_x(x,y){|}_{\begin{array}{c}x=x_0\\ y=y_0\end{array}}$=$f_x(x,y){|}_{(x_0,y_0)}$

偏导数计算技巧

• 由于多元$f(x_1,\cdots ,x_n)$函数的偏导数是将被求导的自变量之外的其他变量视为常数,在求某个点$P_0(v_1,v_2,\cdots ,v_n)$(其中$v_i$表示$x_i$的取值,为常数)处的自变量$x_i$的偏导数时,可以考虑将$x_i$以外的变量用具体值代入之后,再求导,即$f_{x_i}(v_1,\cdots ,v_n)$=$f_{x_i}(x_1,\cdots ,x_n){|}_{(v_1,\cdots ,v_n)}$(1)
• 或者$f_{x_i}(v_1,\cdots ,v_n)$=$f_{x_i}(v_1,\cdots ,x_i,\cdots ,v_n){|}_{x_i=v_i}$(2)
• 使用公式(2)有时会明显简单,特别是当函数$f$式子复杂时
• 当$n=2$时,即二元$x,y$情形,公式(2)可以表示为
  • $f_x^{\prime }(x_0,y_0)={f_x(x,y_0)|}_{x=x_0}$
  • $f_y^{\prime }(x_0,y_0)={f_y(x_0,y)|}_{y=y_0}$

间断点处的偏导数

• 设分段函数$f(x,y)$=$\frac{xy}{x^2+y^2}$,$(x,y)\ne (0,0)$;$f(x,y)=0$,$(x,y)=(0,0)$

• 则$f(x,y)$在点$(0,0)$处的导数?

  • 由于点$(0,0)$是函数$f(x,y)$的间断点,求偏导数应用偏导数的定义:
    • $f_x(0,0)$=$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(0+\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}$=$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{0-0}{\Delta x}$=$0$
    • 同理,$f_y(0,0)$=$0$
  • 容易验证$f(x,y)$在$(0,0)$处的极限不存在,函数$f(x,y)$在$(0,0)$处也不连续

多元函数的偏导与连续

• 上述结果表明,即使$f(x,y)$在$(0,0)$处各个自变量的偏导都存在甚至相等,也推不出该处极限存在,也推不出函数在该处连续
  • 这是因为,$f(x,y)$对各个自变量的偏导数只能说明两个趋近路径(相互垂直)上的极限存在,这推不出所有方向极限存在也就推不出连续
• 而在一元函数中,在某点处可导一定推出连续,也能推出极限存在

偏导数的几何意义

• 偏导数实质上是一元函数的导数
• 而一元函数的导数的几何意义是曲线的切线斜率
  • 切线位于坐标面$xOy$中(平行重合关系),导数$f_x(x{)}^{\prime }$也等于切线相对于$x$轴的倾斜角$\alpha$的正切值$\tan \alpha$
• 所以,偏导数的几何意义也是切线的斜率
  • 对于二元函数,$z=f(x,y)$,其在$P(x_0,y_0)$处对于$x$的偏导数$f_x(x_0,y_0)$表示曲线$L_1:z=f(x,y);y=y_0$在点$P_0$处的切线$T_1$斜率
  • 曲线$L_1$是平面曲线,由空间的两个曲面方程相交得到,其中曲面$y=y_0$是一个平面,因此交线$L_1$一定是一条平面曲线,并且该曲线$L_1$和坐标面$xOz$平行
  • 切线$T_1$的倾斜角$\alpha$为$T_1$相对$xOy$平面上的直线$y=y_0$的倾斜角,或者说$T_1$投影到平面$xOz$上的$T_1^{\prime }$相对于$x$轴的倾斜角
• 类似的$f_y(x_0,y_0)$,表示$L_2:z=f(x,y);x=x_0$的切线的斜率

小结

• 由偏导数的定义可以知道,偏导数的本质就是一元函数的导数

• 点$(x_0,y_0)$处的偏导数$f_x^{\prime }(x_0,y_0)$就是一元函数$\varphi (x)=f(x,y_0)$在$x=x_0$处的导数,即$f_x^{\prime }(x_0,y_0)$=${\varphi }^{\prime }(x_0)$

  • $f_x^{\prime }(x_0,y_0)$=$f$

• 求自变量$x_i$的偏导数(或偏导函数)时,只需要将$x_i$以外的自变量视为常量(可以提前代入到$f$,将多元函数点$P_0$处偏导数计算化为一元函数在自变量某处的导数),再按一元函数$\varphi (x_i)$的求导法则求导数即可

例

• $z=x^3+2x^{2}y-y^3$的在$P_0(1,3)$对$x$偏导数

• 使用公式1计算

  • $z_x$=$3x^2+2y2x$=$3x^2+4yx$
  • $z_x{|}_{(1,3)}$=$3+12$=15

• 使用公式2计算

  • $z_x{|}_{(1,3)}$=$z_x(x,3){|}_{x=1}$=$(x^3+6x^2-27{)}_{x=1}^{\prime }$=$3x^2+12x{|}_{x=1}$=$15$

例

• $f(x,y)$=$\frac{\sqrt[3]{x{y}^2}}{x^2+1}$+$\sin (1-x)\tan \frac{xy}{x^2+y^2}$,求$f_x(1,1)$,$f_y(1,1)$
• $f(x,y)$是一个复杂表达式,考虑使用点处偏导数公式2计算
  • $f_x(1,1)$=$f_x(x,1){|}_{x=1}$=$[(\frac{\sqrt[3]{x}}{x^2+1})+\sin (1-x)\tan \frac{x}{x^2+1}{]}_{x=1}^{\prime }$
  • $f_y(1,1)$=$f_y(1,y){|}_{y=1}$=$(\frac{\sqrt[3]{y^2}}{2}{)}^{\prime }{|}_{y=1}$=$\frac{1}{3}{y}^{-\frac{1}{3}}{|}_{y=1}$=$\frac{1}{3}$